Є В Костюк - Визначення вхідних параметрів системи для реалізації синусоїдального закону зміни прискорення веденої маси - страница 1

Страницы:
1  2 

^ УДК 621.84

Є.В. КОСТЮК, асп. В.С. КОСТЮК, канд. техн. наук

Національний університет харчових технологій

ВИЗНАЧЕННЯ ВХІДНИХ ПАРАМЕТРІВ СИСТЕМИ ДЛЯ РЕАЛІЗАЦІЇ СИНУСОЇДАЛЬНОГО ЗАКОНУ ЗМІНИ ПРИСКОРЕННЯ ВЕДЕНОЇ

МАСИ

Зазвичай у динаміці машин розв'язується задача, яка передбачає визначення результату впливу на вихідні параметри системи. Тобто виконується перевірка фактичних значень на їх допустимість, як правило, з точки зору міцності елементів системи.

Пропонується розглянути зворотну задачу, а саме визначити, які вхідні параметри потрібно задати, щоб отримати бажаний результат. В межах двомасової моделі бажаним результатом будемо вважати абсолютно безударний режим руху веденої маси під час перехідного процесу. Такий режим можна вважати реалізованим за умови зміни прискорення за синусоїдальним законом. Необхідно визначити, при якому законі руху ведучої маси ведена маса буде рухатись за синусоїдальним законом. Також визначимо залежності за якими потрібно задавати рушійну силу для отримання означеного закону руху веденої маси.

В якості об'єкта дослідження використаємо реально діючий екземпляр пакувального обладнання, що використовується для укладання рулонів на лінії виготовлення комбінованого пакувального матеріалу на ДП Тетра-Пак Україна, а саме просторовий робот-укладчик Gantry Area - 120.

Розглянемо випадок горизонтального переміщення каретки робота із рулоном, тобто один з елементів робочого ходу. Така операція в циклограмі

© Є.В. Костюк, В.С. Костюк, 2011

S   роботи машини обмежена часом Т та шляхом S. Як і будь-яке

переміщення означена операція передбачає комбінування усталеного руху та перехідних процесів. Частка тривалості перехідних процесів у повній тривалості операції переміщення визначається циклограмою і становить величину k.

Операція горизонтального переміщення складається з наступних етапів:

0 - навантаження пружного елемента, розгін ведучої маси;

1 - розгін веденої маси ;

II - усталений рух;

III - гальмування веденої маси;

IV - гальмування ведучої маси.

Нульовий етап строго не лімітований по часу і параметрам виконання, але має складати незначну частку технологічної операції переміщення, яка обмежена циклограмою роботи пристрою.

Перший етап передбачає рух ведучої маси до моменту, коли Рпр = Роп.

При цьому ведена маса нерухома. Нерівністю сили опору у стані спокою та під час руху нехтуємо. Оскільки заданим є закон руху веденої маси на І етапі, то пропустимо 0 етап і почнемо розв'язання задачі саме з розгону веденої маси.

Для позначення кінематичних і динамічних параметрів ведучої та веденої мас на різних етапах будемо застосовувати подвійний індекс. Перша цифра позначатиме належність тій чи іншій масі, а друга - етап, якому відповідає цей параметр.

З метою отримання графічних залежностей будемо використовувати наступні числові значення параметрів системи, які відповідають реальній конструкції робота-укладчика:

с = 30000 Н/м; m1 = 100 кг; m2 = 1200 кг;

S = 3 м; T = 6 c; k = 0,7;

Роп = 235 Н; л>н2ом = 077м/с; ат2ах = A = 0,58 м/с2,

де с - жорсткість зубчастих пасів;

m1 - ведуча маса (приведена); m2 - ведена маса (приведена);

k - частка перехідних процесів у загальній тривалості операції переміщення; Роп - сила опору;

уп2м - швидкість усталеного руху веденої маси;

max ґ \

а2    - максимальне прискорення веденої маси (амплітуда синусоїди). Розгін веденої маси (І етап). Початкові умови для веденої маси:

P = Р   = 235 Н •

пр оп

При цьому Рпр = сх10, звідки

Рп 235

х10 =-пр =-= 0,0078 м » 8 мм.

10     с 30000

Система рівнянь руху на І етапі має вигляд:

m1a11 = Рруш - с(х11 - Х21 ); m2a21 = с(х11 - x21 )~ Роп .

(1)

З другого рівняння визначаємо х11

Х11 = Х21 +

(m2a21 + Роп ) (2)

С

В отриманому виразі x21 та a21 задані умовою задачі і описуються наступними залежностями в часі:

a21 (t) = A sin(wt); (3)

x21 (t)=A2sin (cot) + At, (4) Co w

де амплітуда А та частота со визначаються наступними залежностями:

A=   2л-S ;

= k(2 - k)T2 '

2л со = —. kT

Підставивши вирази (3) та (4) в рівняння (2) отримуємо залежність

!5   переміщення ведучої маси в часі

c

A

2sin со2 /   \   A    (m2Asin (at)+ Роп)

(at) + — t + ^-—

a c (5)

1 Л

= Asin (at) —2 - 2 v c a

Двічі продиференціювавши рівняння (5) отримуємо v11 та a11

+ At + Роп-a c

dt

A m2Aa

=--cos(at)+---+

a a c cos

(at)

Acos(at)

m2a 1

A

V c     a 0 a

d

a11 (t )=—/-jx11 (t )= Asin (at )■

2

m2Aa2

dt

Asin (at) 1 -

sin

c

(at)

m2a

(6)

Рівняння (6) є першою частиною розв'язку поставленої задачі. Воно описує закон руху ведучої маси при якому прискорення веденої буде змінюватись за синусоїдою.

З першого рівняння системи (1) знаходимо Рруш і підставляємо в нього

вирази (4), (5) та (6), отримуємо залежність рушійної сили в часі:

Рруш (t) = m1a11 + с(Хц - x21) = m1a11 + с

x21 +

m2a21 +

Роп )

c

21

m1a11 + m2a21 + Роп = m1

Asin (at )f m1

Asin (at)

m2a2 1--2—

V

c

V

+m

a2

2

c

+

m2Asin (at) + Роі

(7)

00

0

Графічна    інтерпретація    отриманих    залежностей кінематичних параметрів представлена на рис. 1.а, м/с v, м/с х, м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ /

 

\

 

 

\ 6

\

t. с

0.525

1.05

1.575

г і

Рис. 1. Кінематичні параметри етапу розгону: 1, 2 - прискорення, 3, 4 -швидкості, 5, 6 - переміщення ведучої та веденої мас відповідно

Як бачимо з графіків для забезпечення синусоїдального закону руху веденої маси на етапі розгону ведуча маса також має прискорюватись за синусоїдальним законом, проте з іншою амплітудою. Причому її початкова швидкість має відрізнятись від нуля, а кінцева має бути меншою за значення кінцевої швидкості веденої маси.

Графіки силового навантаження представлені на рис. 2.

Р, Н

1x10'

S00

600

400

200

 

 

 

5

 

 

 

У 4

 

\2

 

 

 

3

 

 

 

1

 

 

t с

0.525

1.05

1.575

2.1

Рис. 2. Динамічні параметри етапу розгону: 1, 2 - сили інерції ведучої та веденої мас відповідно; 3 - сила опору; 4 - зусилля в пружному елементі; 5 -

Очевидно, що рушійна сила відрізняється від навантаження пружного елемента на величину інерційної складової ведучої маси, а сила пружності - на величину сили опору від інерційної складової веденої маси. Отже фізичний зміст математичної моделі не порушується.

Усталений рух (ІІ етап). Етап усталеного руху веденої маси передбачає реалізацію наступних залежностей:

а22 (t ) = 0; (8)

v22 (t ) = vH°M = const; (9) Користуючись підстановкою, використаною при розрахунку законів руху на етапі розгону можна довести, що рівності (8) та (9) можуть бути справедливими лише за умови, що

V12 (t )= V22 (t ) = vH2°M = const; Використовуючи   відомі   числові   значення,   отримуємо графічне представлення етапу усталеного руху. Співставлення графіків кінематичних параметрів на межі І та ІІ етапів представлено на рис. 3.

Рис. 3. Кінематичні параметри на межі етапів розгону і усталеного руху: 1, 2 - прискорення, 3, 4 - швидкості, 5, 6 - переміщення ведучої та веденої мас відповідно на І етапі; 7 - прискорення, 8 - швидкості на ІІ етапі; 9,10 -переміщення ведучої та веденої мас відповідно на ІІ етапі

Оскільки лінії прискорень та швидкостей ведучої і веденої мас співпадають, для наочності вони представлені пунктиром. Бачимо, що на межі переходу до усталеного руху присутній стрибок швидкості ведучої маси на скінченну величину. Ця обставина свідчить про наявність жорсткого удару. Прискорення в цій точці теоретично повинно мати нескінченну величину. Недоцільність використання подібної комбінації законів руху очевидна, оскільки метою розв'язання поставленої задачі є отримання безударного режиму роботи механізму.

Не змінюючи на даному етапі дослідження початкових умов і параметрів роботи механізму, а також не усуваючи етап усталеного руху, розглянемо ІІІ етап руху - гальмування ведучої маси.

Гальмування веденої маси (ІІІ етап). Гальмування передбачає зміну прискорення веденої маси також за синусоїдою. Виходячи з початкових умов

на цьому етапі, а саме а23п = а22к = 0, v23n = v22k = vH2OM, х23п = х22к, будемо мати наступні аналітичні залежності зміни прискорення, швидкості та переміщення веденої маси (умова задачі):

а

23

v23 (t)

x23 (t ) = 2 sin

Co

(t ) = - Asin A

f

f

=--cos

C

C

v v

f

t - T +

C

vv

t-T+

p

Co))

W

(10)

+

A

f

f

C

vv

t-T+

p

C))

^ A

C

C))

+ -1 + S C

AT

C

(11)

Користуючись системою рівнянь руху на ІІІ етапі, яка має вигляд

т1а13 = Рруш - с(х13 - X23 ); т2а23 = с(х13 - X23 )-Роп ,

виражаємо з другого рівняння невідомий параметр, тобто х13:

2а23 + P°n )

(12)

X13 = X23 +

С

(13)

Підставляючи вирази (10) та (11) в рівняння (13) отримуємо залежність переміщення ведучої маси в часі:

X3s (t )= X33 (t )+('"2"23 (t)+ P°n ) =

A

f

sin

Co

f

Co

v v

t - T +

p

С

W

A AT

+ — t + S--

CC

+

+

m2A

f

f

Asin

sin

C

vv

p

C

vv

t-T+

t-T+

C))

+

P

С

(14)

p

2

W (t

co

+ -(t - T)+ S +

P

c

))v       c )

Послідовно диференціюючи рівняння (14), знаходимо залежності зміни швидкості та переміщення ведучої маси:

v13 (t ) = dx13 (t )=Acos dt со

f

co

t - T +

p

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Є В Костюк - Визначення вхідних параметрів системи для реалізації синусоїдального закону зміни прискорення веденої маси

Є В Костюк - Удосконалення приводів машин на основі сучасних систем регулювання