Т С Зеленська - Використання пакету mathcad при розв'язуванні диференціальних рівнянь в частинних похідних - страница 1

Страницы:
1 

Зеленська Т.С.

Європейський університет (м. Київ)

Використання пакету Mathcad при розв'язуванні диференціальних рівнянь в частинних похідних

На сьогоднішній день економіка України потребує фахівців, які б професійно були обізнані з спеціальними прикладними комп'ютерними програмами, що застосовуються для оптимізації тієї чи іншої галузі промисловості. Особливо це стосується студентів, які навчаються на технічних спеціальностях.

Однією з універсальних прикладних програм фізико-математичного спрямування є пакет Mathcad, за допомогою якого, зокрема, можливо розв'язувати диференціальні рівняння в частинних похідних [2]. Диференціальні рівняння, перш за все, основа для всіх фізичних та хімічних розрахунків, що застосовуються в промисловості чи в науці. І тому без диференціальних рівнянь не може обійтись в рамках своєї професійної діяльності ні один спеціаліст технічного та природничого профілю [4], [5].

Відомо, що диференціальні рівняння в частинних похідних є доволі складним матеріалом для сприйняття та засвоєння його студентами, але візуалізація цих рівнянь в Mathcad може значно полегшити процес навчання. Однак, на цей час недостатньо методичних матеріалів стосовно використання пакета Mathcad при розв'язуванні диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Розглянемо доцільність використання пакету Mathcad при розв'язуванні диференціальних рівнянь в частинних похідних при вивченні дисциплін «Чисельні методи в інформатиці», «Прикладне програмне забезпечення», «Теорія алгоритмів та чисельні методи (додаткові глави)» студентами напрямів «Комп'ютерні науки» та «Програмна інженерія» галузі знань «Інформатика і обчислювальна техніка».

При вивченні диференціальних рівнянь в частинних похідних студенти розуміють, що диференціальним рівнянням в частинних похідних називається рівняння відносно функції кількох змінних, яке може містити саму функцію і обов'язково повинно містити її частинні похідні за різними аргументами.

Такі рівняння характеризуються тим, що для їх розв'язування не існує єдиного універсального методу, і більшість задач потребує використання евристичних методів.

Самі рівняння в частинних похідних (дещо умовно) можна поділити на три основних типи:

параболічні - містять першу похідну за однією змінною і другу - за іншими, причому всі ці похідні входять в рівняння з однаковим знаком;

гіперболічні - містять першу похідну за однією змінною і другу похідну за іншими змінними, причому похідні входять в рівняння з різними знаками;

еліптичні - містять тільки другі похідні, причому одного знаку.

Деякі більш складні рівняння не можна однозначно підвести під наведену класифікацію, тоді говорять про гібридні типи рівнянь.

Розглянемо можливості використання пакету Mathcad для розв'язування деяких з наведених вище рівнянь.

Хвильове рівняння - диференціальне рівняння в частинних похідних, якими описується процес   розповсюдження   хвиль   різної   природи   в   деякому   середовищі,   має вигляд

_ = а2(—- + — + —) • Це найпростіше рівняння гіперболічного типу.

dt2        дх2   су2 dz2

Рівняння та системи рівнянь такого типу з'являються при аналізі різних коливань та хвильових процесів (телеграфне рівняння тощо).

У випадку малих коливань та однорідного ізотропного середовища хвильове рівняння має вигляд:

82и   д2и   д2и     1 82и дх2    су2    dz2    a2   dt2 '

де x,y,z - просторові змінні, t - час, и -u(x,y,z) - вихідна функція, яка характеризується

коливаннями в точці (x, y, z) в момент часу t, a - швидкість розповсюдження коливання. Якщо u

залежить тільки від двох (однієї) просторових змінних, то хвильове рівняння спрощується і називається двовимірним (одновимірним).,                             •             д и     1   д и Приклад. Знайти розв язок хвильового рівняння -=---, що описує поздовжні

дх2    v2 dt2

коливання стержня постійного поперечного перерізу довжиною L, один кінець Х = 0 якого жорстко закріплений. При цьому стержень був підданий розтягуванню під дією постійної сили F, яка прикладена до кінця стержня x = L; v - швидкість коливання стержня. В початковий момент часу дія сили F миттєво зупиняється і кінець стержня х = L залишається вільним. Модуль Юнга стержня рівний Е, а площа поперечного перерізу - S. Розв'язування.

Запишемо необхідні для розв'язування задачі постійні величини: Е := 2.1 • 1011 - модуль Юнга сталі, Па. р := 7850 - густина сталі, кгі мъ.

\_

v := ^ j 2 - швидкість поздовжньої хвилі, м/с. v = 5.172xl03.

F := 1000 - сила, яка діє на кінець стержня, Н.

5":= 0.0001 - площа поперечного перерізу стержня, м2.

Створимо сітку для розв'язування задачі за методом скінченних різниць:

N := 20        М := 40.

i:=0..N

il :=l..N-l

j:=0..M

jl :=1..М-1

t _end ■- 0.00005     t_begin -0 час коливань

L max := 1 L min := 0 довжина стержня

, L max-L min    „ „.

h  x:=^-=-= 0.05

N

,     ,     t  end-t  begin    Л oc -6

h t:=—-=—— = 1.25x10

Nl

v      < 1 розв'язок стабільний

h _x

Xj'-0 + h_x-i   tj\=Q + h_t-j. Запишемо початкові та граничні умови:

X

и\(х) := F--початкове зміщення стержня

Е ■ S

и2(х) := 0 початкова швидкість

Ul0:=ul(x,)

ЛҐ .   , . початкові умови

Ul-J := и\{х1) + п _ t u2(x)

U0j := 0 граничні умови

Маємо рівняння в скінченних різницях:

v-h t

г :=-=—

h_x

UlXn+1 :=i-2-r2 luih]l + r2 </;1+ul + Un_in > Ulh]l_x. Графічне зображення результатів розв'язування подано на рис. 1.

Рис. 1

Х20 = 1

/20 =2.5-10-5 Точний розв'язок

U( X, t) :

8-F-L max (-1)n+ cos

(2 • и -1) • ж ■ v t 2-L max

sin (2 • n1) ■ л x 2-L max

За допомогою Mathcad можливо отримати розв'язок, використовуючи формулу

ИІ(X,t) :

8 F-L max

20

Е­

(-і)№

!+1

cos

(2 ■ n -1) ■ л v t

2-L max sin

(2 ■ n -1) ■ л x

Ulu :=ul(x,t).

Результат подано на рис. 2 та рис. 3.

Рис.2 Рис.3 Розглянемо параболічне рівняння в частинних похідних, яке залежить від трьох змінних двох просторових X та У, а також від часу t.

ди (х, y,f) dt

-D

d[1]u(x,y,t) d[2]u(x,y,t)

дх[3]

ду[4]

+ (f>(x,y,t,u).

Вираз в дужках в правій частині рівняння (сума двох просторових похідних від функції и, її часто для скорочення позначають у вигляді оператора Лапласа: Ли).

Це рівняння називається двовимірним рівнянням теплопровідності. Воно описує динаміку розподілу температури u(x, y, z) на поверхні (наприклад, на металічній пластині) в залежності від часу.

Припустимо, що ми розглядаємо розподіл тепла не на плоскій поверхні, а на видовженому тілі типу металічного стержня. В цьому випадку залежність від координати у в загальному рівнянні теплопровідності зникає. І отримуємо одновимірне рівняння:

du(x,t) d2u(x,t) dt дх2

Одновимірне рівняння набагато простіше двовимірного, оскільки об'єм розрахунків для реалізації його розв'язування набагато менший.

Приклад. Знайти розв'язок рівняння розподілу тепла в стальному стержні

ди    , д2и

— = k —-, що задовольняє умовам:

dt дх2

u(0,t) = u(L,t) = 0 , и(х,0) = Х'(^~Х) .

Розв'язок.

Л:=45Л коефіцієнт теплопровідності сталі, ВтІ(м-К). Ср :=460 питома теплоємність сталі, ДжІ(кг-К).

р := 7850 густина сталі, кг/м3. к:. Я

коефіцієнт температуропровідності.

£: = 1.257х10~5.

Створюємо сітку для розв'язування за методом скінченних різниць.

N:=100 М:=20.

i:=0..N

il:=l..N-l

j:=0..M

t _end ■- 4     t _begin ■- 0 час коливань

L max := 2   L min := 0 довжина стержня

L max-Z min ,        t end-t begin

h x:=^-=- h t:=^-=——

~ N M

h_x = 0.02 h_t = 0.2

v      = 1 розв'язок стабільний

h _x

Xj\=0 + h_x-i tj.= 0 + h_t-j

Задамо початкові та граничні умови:

.    x-(L max-x)

м1(х) :=-=--— початковий розподіл температури

Zmax

Uj0 :=и1(х;) початкові умови Uo,j--=°

У      q граничні умови

Рівняння в скінченних різницях

(

Графічне зображення результатів розв'язування подано на рис. 4 та рис. 5.

    2'k-h   А ті       k'h   1 гтт тт л

V      h    ) п

В Mathcad можливо провести розв'язування використовуючи формулу:

LJI

Рис. 6

При розв'язуванні прикладних задач диференціального числення є необхідним застосування прикладних комп'ютерних програм таких, як Mathcad. Використання цього пакету при вивченні даної теми полегшує сприйняття та засвоєння студентами доволі складного матеріалу. До того ж, візуалізація розв'язків та побудова двовимірних та тривимірних графіків в Mathcad розвиває образне мислення та просторову уяву студентів. При використанні пакету Mathcad значно спрощується алгоритм розв'язування, при цьому витрачається менше часу на проміжні громіздкі арифметичні розрахунки.

Література

1. Васильев А.Н. Mathcad13 на примерах. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 528 с.

2. Дьяконов В.П. Энциклопедия Mathcad 2001 и Mathcadll. -М.: СОЛОН-Пресс, 2004. -

832 с.

3. Поршнев С.В. Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. -СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 464 с.

4. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: МГУ, 1987. - 198 с.

5. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. - М., 2001. - 550 с.


[1] L max

[2] L max

[3] L max

[4] L max

Страницы:
1 


Похожие статьи

Т С Зеленська - Використання пакету mathcad при розв'язуванні диференціальних рівнянь в частинних похідних