О Л Дрозденко - Використання пакету символьних обчислень maple при розв'язуванні деяких задач аналітичної геометрії - страница 1

Страницы:
1  2 

О. Л. Дрозденко

Таращанський агротехнічний коледж ім. Героя Радянського Союзу О. О. Шевченка

ВИКОРИСТАННЯ ПАКЕТУ СИМВОЛЬНИХ ОБЧИСЛЕНЬ MAPLE ПРИ РОЗВ'ЯЗУВАННІ ДЕЯКИХ ЗАДАЧ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

Однією з характерних рис двадцять першого століття є впровадження в повсякденне життя високоефективних комп'ютерних технологій. Сьогодні неможливо уявити собі висококваліфікованого вченого, конструктора, інженера, який не використовує Internet для одержання найсвіжішої інформації. Комп'ютер, пакети символьних програм наполегливо і безповоротно входять в життя не тільки науково-дослідних установ, університетів, а і в професійні коледжі, школи та родини.

Проблемам доцільності, можливості, обсягу, формам і методами використання сучасних інформаційних технологій в процесі навчання шкільного курсу математики та математичних дисциплін студентів вищих навчальних закладів присвячена велика кількість досліджень, зокрема [3,4,5,9,12,13], розроблені методичні рекомендації щодо навчання конкретних математичних дисциплін з використанням інформаційно-комунікаційних технологій (ІКТ) [1,2,10,11,14].

Нас цікавить проблема використання ІКТ в процесі навчання вищої математики студентів професійних коледжів. Доцільність використання ІКТ в навчанні математики студентів професійних коледжів насамперед пов'язана з тим, що одним з реальних шляхів підвищення якості професійної (зокрема, математичної) підготовки майбутніх фахівців є активізація навчально-пізнавальної діяльності студентів, підвищення ефективності навчання. При цьому використання ІКТ дає можливість:

- підвищити мотивацію навчання;

- ефективніше реалізувати принципи диференціації та індивідуалізації навчання;

- краще   організувати   і   підвищити   ефективність   аудиторної та самостійної роботи студентів;

- озброїти новими засобами пізнавальної діяльності, новими методами і прийомами наукового пізнання, що базуються на використанні ІКТ.

На сьогодні розроблено велику кількість програмного забезпечення, яке дозволяє розв'язувати досить широке коло математичних задач різного рівня складності. До таких програм відносяться: Axyom, Derive, Gran (1, 2d, 3d), Macsyma, Maple, Mathematica, Reduce та інші. Зокрема програмні комплекси Gran [1,2] є досить зручними саме для підтримки навчання вищої математики (насамперед, аналітичної геометрії). Вони є простими у використанні, мають досить зручний інтерфейс і не вимагають великого обсягу спеціальних знань з інформатики та програмування.

В цій статті ми зупинимось на пакеті символьних обчислень Maple, який є одним з лідерів універсальних систем і забезпечує користувачу зручне інтелектуальне середовище для математичних досліджень.

Програма розроблена науково-дослідною групою відділу обчислювальної техніки університетів Waterloo, (штат Онтаріо, Канада, заснована в грудні 1980року Кейтом Геддом і Гастоном Гоне) та Вищою технічною школою (ЕТН, Цюріх, Швейцарія).

На сьогоднішній день Maple є потужною обчислювальною системою, призначеною для виконання складних проектів.

З допомогою Maple успішно виконуються складні алгебраїчні перетворення і спрощення над полем як дійсних, так і комплексних чисел, знаходяться границі, скінченні і нескінченні суми, добутки, інтеграли, розв'язуються в символьному вигляді і чисельно алгебраїчні системи рівнянь і нерівностей, знаходяться корені многочленів, розв'язуються звичайні диференціальні рівняння та їх системи. В Maple включені пакети для розв'язування задач комбінаторики, двовимірної та тривимірної евклідової геометрії, теорії груп, лінійної алгебри, булевої логіки, теорії графів, теорії розміщень, теорії чисел, проективної геометрії, лінійної оптимізації, статистики і інші.

Пакет включає розвинуту графічну бібліотеку і мову програмування.

За допомогою Maple можна розв'язувати велику кількість математичних задач шляхом введення команд без будь-якого попереднього програмування. Maple оперує цілими, раціональними числами та їх десятковими наближеннями. Це дозволяє отримати вираз результатів як в радикалах, так і їх наближення з потрібною точністю.

Розглянемо деякі можливості Maple на прикладі розв'язання задачі аналітичної геометрії про тетраедр, визначений рівняннями граней, вписану та описану сфери.

Команди стереометрії, які будуть використовуватись _при розв'язанні задачі._

area

обчислення площі трикутника;

centr

обчислення центра сфери;

coordinates

визначення координат точки;

distance

обчислення відстані між двома точками;

radius

обчислення радіуса сфери;

point(O,a,b,c);

задання точки О з координатами (a,b,c);

sphere(name,[pt3d,expr])

визначення сфери з центром в точці pt3d і радіусом expr;

tetrahedron

задання тетраедра за чотирма його вершинами;

gtetrahedron([p1, p2,

задання тетраедра за чотирма його

p3, p4]);

гранями;

volume

обчислення об'єму сфери;

solve

розв'язування рівнянь та систем рівнянь;

evalf

обчислення наближеного значення.

Задача. Скласти рівняння сфери, вписаної в тетраедр, який визначається рівняннями граней

jc +1 = 0, у + 2 = 0,  z + l = 0,  x + y + z-2s/3-2 = 0. Обчислити площу повної поверхні даного тетраедра, його об'єм. Знайти центр описаної навколо тетраедра сфери, її радіус. Написати рівняння сфери і знайти її об'єм. Зобразити тетраедр, вписану та описану сфери в даній прямокутній декартовій системі координат.

Розв'язання.

Використаємо пакет символьних обчислень Maple. Підключимось до бібліотеки geom3d. >with(geom3d):

Warning,  the name polar has been redefined Задамо площини x + 1 = 0, j + 2 = 0, z + l = 0, x + y + z-2y/3-2 = 0: >plane(p1,x=-1,[x,y,z]); plane(p2,y=-2,[x,y,z]); plane(p3,z=-1,[x,y,z]);plane(p4,x+y+z-2*sqrt(3)-2=0,[x,y,z]);

p1 p2 p3 p4

Задамо тетраедр, який визначають дані площини:

> EnvXName  :=  'x': _EnvYName  :=  'y': _EnvZName  := 'z': gtetrahedron(T2,   [p1, p2, p3, p4]);

T2

Прочитаємо координати його вершин і граней:

> detail(T2);

name of the object: T2

form of the object: gtetrahedron3d

the 4 vertices: [[-i, -2, -i], [-1, -2, 2*3A(i/2)+5], [-1, 4+2*3A(i/2), -i], [2*3A(\ 1/2)+5, -2, -1]]

the 4faces: [[[-1, -2, -1], [-1, -2, 2*3A(1/2)+5], [-1, 4+2*3A(1/2), -1]], [[-1, -2, \ -1], [-1, -2, 2*3A(1/2)+5], [2*3A(1/2)+5, -2, -1]], [[-1, -2, -1], [-1, 4+2*3A(1/2)\

, -1], [2*3A(1/2)+5, -2, -1]], [[-1, -2, 2*3A(1/2)+5], [-1, 4+2*3A(1/2), -1], [2*3\

(1/2)+5, -2, -1]]]

Позначимо вершини тетраедра точками B1,B2,B3,B4, тоді >point(B1,-1,  -2, -1);

B1

>point(B2,-1,  -2, 2*3A(1/2)+5);

B2

>point(B3,-1,  4+2*3A(1/2), -1);

B3

>point(B4,2*3A(1/2)+5,  -2, -1);

B4

Центр вписаної в тетраедр сфери буде знаходитись в одній з точок, яка рівновіддалена від всіх його граней. Задамо точку O a, b, c :

>point(O,a,b,c); O

Знайдемо відстань від точки O a, b, c до кожної з чотирьох площин:

>dl:=distance(О,pi);

dl := I a + 1

>d2:=distance(0,p2);

d2 -=\2 + b

>d3:=distance(0,p3);

d3 := 11 + c\

>d4:=distance(O,p4);

d4 :=-\a + b + c -2 -2\j3 Для знаходження a, b, c складаємо та розв'язуємо систему:

\a + l\ = \b + 2\;

|a + l| = — a + b +с-2^/з-2 . 1     1 З

>solve({ abs(a+1)= abs(2+b),abs(a+1)= abs(1+c),abs(a+1) = 1/3*abs(a+b+c-2*sqrt(3)-2)*sqrt(3)},{a,b,c>);

{c = 3 +2JJ, Ь = 2 + 2*{3, a = 3 +2JJ}, { b = 0, с = 1, a = 1 }, { Z> =-2 + 2 д/3~, c = -\ + 2^3, a = -l -2д/3~}, { Z> =-2 + 2 д/3~, a = -\ +2-/3", c = -l -2д/3~},

{a = -7-4jT,c = -7-4jT,b = 4 + 4jT},

{c = -l + 2д/3~, 6 = -2д/3~-2, a = -\ + 2д/3~},

= -7-4д/У,с = 5+ 4д/3~, 6 = -8-4д/3~},

{ с = -7 - 4 д/з", a = 5 + 4 д/з~, 6 = -8 - 4 д/з~}

Одержали вісім точок, кожна з яких знаходиться на однаковій відстані від площин: jc +1 = 0, у + 2 = 0, z + l = 0, х + у + г-2у-2 = 0: >point(Al,  3+2*sqrt(3),2+2*sqrt(3),  3+2*sqrt(3));

Маючи координати вершин тетраедра, легко встановлюємо, що лише точка A2 1,0,1  розміщена всередині тетраедра. Отже, центром вписаної сфери є

точка A2 1,0,1 . Радіус сфери дорівнює відстані від точки A2 1,0,1 до будь-якої з

площин, що містять грані тетраедра. Знайдемо його як відстань від точки 1,0,1 до площини х + 1 = 0:

>distance(A2,p1); 2

Записуємо рівняння шуканої вписаної сфери:

1   2 2 1 2

х-\   + z-1 =4. Задамо сферу в пакеті символьних обчислень Maple:

A1

> point(A2,1,0,1 );

A2

> point(A3,-1+2*sqrt(3),-2+2*sqrt(3),-1-2*sqrt(3));

A3

> point(A4,-1+2*sqrt(3),-2*sqrt(3)-2,-1+2*sqrt(3));

A4

>point(A5,5+4*sqrt(3),-8-4*sqrt(3),-7-4*sqrt(3) );

A5

> point(A6,-1-2*sqrt(3),   -2+2*sqrt(3),-+2*sqrt(3));

A6

>point(A7,-7-4*sqrt(3),4+4*sqrt(3),-7-4*sqrt(3));

A7

>point(A8,-7-4*sqrt(3),-8-4*sqrt(3),5+4*sqrt(3)   );

A8

>sphere(s,(x-1)A2+yA2+(z-1)A2=4,[x,y,z] 'centername'=A2);

s

> center(s); A2

> coordinates(%); [1,0,1]

Знайдемо площу поверхні тетраедра як суму площ трикутників B1B2B3, B1B2B4, B1B3B4, B2B3B4.

Знаходимо площу кожного з трикутників B1B2B3, B1B2B4, B1B3B4, B2B3B4:

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

О Л Дрозденко - Використання пакету символьних обчислень maple при розв'язуванні деяких задач аналітичної геометрії