І І Стрельченко - Використання інтегрального рівняння вінера-хопфа для моделювання динаміки обмінних курсів - страница 1

Страницы:
1 

УДК 330.46; 519.86

І. І. Стрельченко, аспірант,

ДВНЗ «Київський національний економічний

університет ім. Вадима Гетьмана»

ВИКОРИСТАННЯ ІНТЕГРАЛЬНОГО РІВНЯННЯ

ВІНЕРА-ХОПФА ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІКИ ОБМІННИХ КУРСІВ

АНОТАЦІЯ. У статті викладено методологічні аспекти використання інтегральних рівнянь для апроксимації динаміки валютних курсів. Розро­блена економіко-математична модель на базі інтегрального рівняння Вінера-Хопфа, одержана імпульсна характеристика системи. Отримані результати дають можливість формувати стратегії гравців на валю­тному ринку.

ANNOTATION. Methodological aspects using of the integrated equations for approximation dynamics of exchange rates are offered in the article. The eco­nomic-mathematical model is developed on the basis of Wiener-Hopf integro-difference equation, the impulse response of system is received. The received results allow to form strategy of players in the currency market.

КЛЮЧОВІ СЛОВА: обмінний курс, фундаментальний аналіз, технічний аналіз, інтеграл згортки, імпульсна характеристика системи, інтегра­льне рівняння Вінера-Хопфа, сплайн.

Стабільність курсу національної валюти — відчутна складова

привабливості інвестиційного клімату. Наслідками нестабільнос-

люти) неможна нехтувати первинними показниками, якими є попит та пропозиція на ринку. У випадку ринку валюти сукупна

тори формування валютного курсу.

На сьогодні існує багато досліджень та публікацій, у яких розглядається можливість передбачення поведінки рядів фінан­сових даних, зокрема валютних курсів [2—8]. Переважна частина цих досліджень ґрунтується на припущенні, що вся інформація

© Стрельченко І. І., 2010

243дія цих показників виражається в обсягах продажу в одиницю часу (лотах). Для обґрунтування припущення про залежність курсу валюти від об'єму її продажу, необхідно ідентифікувати наявність кореляції між ними за допомогою апарату математич­ного моделювання.

Для правильної і прибуткової роботи на будь-якому фінансо­вому ринку необхідно вміти прогнозувати рух цін (на FOREX — курсів валют). Більшість дослідників виділяють три основні під­ходи при прогнозуванні будь-якого фінансового ринку: фундамен­тальний, технічний та психологічний аналіз (аналіз очікувань та переваг учасників ринку) [2—4].

Фундаментальний аналіз — аналіз економічного стану країн походження валют, політичних подій і чуток. Складність викори­стання багаточисельних та суперечливих макроекономічних по­казників не дозволяє робити однозначні висновки про напрямок руху валютного курсу [2, 5].

Технічний аналіз у цілому можна визначити, як метод прогно­зування ціни, заснований на математичних, а не економічних мір­куваннях. Даний підхід полягає в дослідженні цінової динаміки ринку за допомогою аналізу закономірностей зміни трьох ринко­вих факторів: ціни, об'єму й у випадку, якщо вивчається ринок термінових контрактів — відкритого інтересу (обсягу відкритих позицій) [2]. При цьому, первинними для аналізу вважаються ці­ни, а зміни інших факторів вивчаються для підтвердження пра­вильності напрямку руху цін. У технічному аналізі виділяють два підходи: графічний і математичний (комп'ютерний аналіз). Гра­фічний метод заснований на аналізі цінових діаграм — нанесення на графік зміни ціни за певний проміжок часу. Математичний метод заснований на використанні технічних індикаторів — ма­тематичних функцій, побудованих на основі даних ціни або обся­гів продажів. Індикатори прийнято ділити на дві групи: індикато­ри тенденцій (підтверджують тенденції); осцилятори (підказують розвороти трендів) [4].

До індикаторів тенденцій відносять ковзні середні, які згла­джують коливання досліджуваної величини шляхом усереднення по деякому історичному періоді. Ковзні середні розрізняються методом усереднення (прості, зважені й експонентні). Всі ковзні середні мають інертність, у силу чого сигнал про продовження тенденції систематично запізнюється [4, 6]. На практиці викорис­товують комбінацію двох або трьох ліній-індикаторів.

Осцилятори використовують як основний сигнал — диверген­цію. Це ситуація, коли напрямок руху ціни й технічних індикато­рів не збігається. Дивергенція вважається сильною ознакою роз­вороту тренда [2, 4].

Окрім перерахованих методів технічні аналітики використо­вують теорію Фібоначчі, а також хвильову теорію Еліота. На фі­нансових ринках коефіцієнти Фібоначчі використовуються різ­ним способом, зокрема, вони є інструментом прогнозування ціни й розрахунку рівнів закриття збиткової позиції (stop-loss). Теорія Еліота являє собою систему емпірично виведених правил для ін­терпретації поведінки ринку. Відповідно до теорії Еліота, при прямуванні ринку відбувається періодично повторюване, з одна­ковим ритмом чергування п' яти хвиль у напрямку основного тренда й трьох хвиль у протилежному напрямку.

Останнім часом здобуває все більшу популярність теорія детермі­нованого хаосу [7]. Теорія хаосу пропонує нові концепції й алгорит­ми для аналізу часових рядів, що може привести до більш повного розуміння природи сигналів. Ця теорія представляє широкий вибір потужних методів, включаючи відновлення аттрактора в лаговому фазовому просторі, обчислення показників Ляпунова, узагальнених розмірностей та ентропій, нелінійне передбачення й редукцію шумів, а також статистичні тести на нелінійність. Поряд з цим, слід відміти­ти відсутність точних алгоритмів застосування методів нелінійної динаміки та стандартних числових процедур для розрахунку основ­них показників, необхідних для прогнозу. Тому отримані результати можуть містити суб'єктивний вплив дослідника.

Одним із перспективних напрямів аналізу валютного ринку є застосування до часових рядів методів спектрального аналізу та цифрової фільтрації. Зокрема, розроблено адаптивний метод слі­дування за тенденціями та ринковими циклами (AT&CF-метод), який засновано на використанні фільтрів нижніх частот для ви­значення тренду [8]. Також існують приклади використання сплайнової апроксимації [9].

Спільним для всіх вищезгаданих методик є використання для аналізу єдиного часового ряду в якості вхідної та вихідної інфор­мації — валютного курсу. Таким чином, зроблені спроби дослі­дити результат, а не причину.

Дана робота має на меті:

• для ідентифікації моделі розробити алгоритм розрахунку ін­тегрального рівняння Вінера-Хопфа з використанням пакету MatLab 6.5;

перевірити адекватність отриманого апарату моделювання через ідентифікацію функціональної залежності з заданими харак­теристиками;

для обраного часового ряду обмінного курсу визначити ім­пульсну характеристику та зробити висновки щодо можливості використання обраної методики для ідентифікації залежності кур­су валюти від обсягу продажу.

Залежність між вхідним сигналом x(t), характеристиками процесу та вихідним сигналом y(t) у часі для лінійної динаміч­ної системи являє собою інтеграл згортки [10]:

t

y(t) = J x(x)h(t -x)dx ,(1)

0

де h(T) — імпульсна характеристика, яка є реакцією системи на вхідну послідовність типу дельта-функції:

ад=-h'=°j. (2

[0, t Ф 0 J w

Імпульсна характеристика є основною характеристикою лі­нійної системи і повністю визначає її поведінку.

Аналогом інтеграла згортки у дискретних системах є диск­ретна часова згортка. Її отримують шляхом заміни t nT,

т — mT, dT1, J Z :

n

y(n) = Z h(m) x(n - m).(3)

0

Якщо довжина вхідної послідовності N, довжина імпульсної характеристики — M, тоді при підстановці цих даних у рівняння згортки ми отримаємо вихідну реакцію  системи довжиною

L= N + M- І.

Доведено, що задача визначення імпульсної характеристики системи, оптимальної за критерієм найменших квадратів, зво­диться до вирішення інтегрального рівняння Вінера-Хопфа:

Rxy (t) = J h(T) Rx (t -T)dT ,(4)

0

де Rx (t -т)  автокореляційна функція вхідного ряду x(t),

RxY (t) взаємно кореляційна функція вихідного y(t) та вхідного

ряду x(t). Тобто лінійна система, яка дає найкращу апроксимацію залежності вихідного y(t) та вхідного ряду x(t) повністю визнача­ється її взаємно та автокореляційними функціями.

Для розв'язку інтегрального рівняння Вінера—Хопфа засто­совують чисельні методи і переходять до системи лінійних рів­нянь, яка записується у матричному вигляді:

rxy = H Rxx ,(5) де Rxx — автокореляційна квадратна матриця порядку N вхідних відліків ряду; для стаціонарного процесу кореляційна матриця має ви­гляд матриці Тепліца, тобто на її діагоналях стоять однакові величини. RxY — вектор взаємно кореляційної функції розміром N*l. H век­тор оптимальних коефіцієнтів фільтра, що забезпечує мінімум виразу:

E[e 2(n)] = E[ y(n) - HTx (n)]2.(6)

Інтегральне рівняння Вінера—Хопфа дає оптимальне (за кри­терієм МНК) рішення для знаходження коефіцієнтів цифрового фі­льтра з кінцевою імпульсною характеристикою [11].

Визначивши автокореляційну матрицю та вектор взаємної ко­реляції можна знайти імпульсну характеристику системи:

H = Rxx -rxy .(7)

За допомогою матричної лабораторії MatLab 6.5 було розроб­лено програмне забезпечення для визначення імпульсної харак­теристики системи, що вивчається. Для регулярізації отриманих результатів використаний алгоритм сплайнової апроксимації [12]. Перевірка роботи отриманого фільтра проводилась за допо­могою наступного прикладу.

З ряду «білий шум» формується вхідний сигнал x(t) із зада­ною автокореляційною функцією:

R(t) = A exp(-bt ),(8)

де A > 0 і b > 0 деякі коефіцієнти. Вихідний сигнал y(t) отримуємо шляхом фільтрації x(t) за відомою імпульсною характеристикою:

H (t) = K / T exp(-t / T),(9)

де K і T деякі параметри. Тоді теоретична взаємно кореля­ційна функція для x(t) та y(t) має бути:

P(t) = b2      exp(-t / T) - bTTYexp(-bT) . (10)

Задаючи конкретні значення параметрів, отримуємо ряд x(t ) , y(t) (рис. 1, 2).

За допомогою розробленого алгоритму розраховуємо взаємно кореляційну функцію та порівнюємо її із теоретичною (рис. 3). Отримані результати підтверджують можливість використання програмної реалізації рівняння Вінера-Хопфа для ідентифікації реальних даних.

Рис. 3. Теоретична (пунктирна лінія) та емпірична (неперервна лінія) взаємно кореляційна функція для x(t) та y(t)

Для перевірки розробленого алгоритму, в якості вихідних да­них використаємо ряд згрупованих по днях щохвилинних прямих котирувань євро/долар США та відповідних обсягів продажу (рис. 4).

За допомогою описаного алгоритму визначаємо взаємно та ав-токореляційні функції системи, її імпульсну характеристику (рис. 5), (рис. 6). Використовуючи алгоритм згортки, відновлює­мо вихідний сигнал — обмінний курс євро/долар США та порів­нюємо з фактичними даними (рис. 7).

60

1.23 і-'-'-1

0 500 1000 1500

t, min

Рис. 4. Обсяг продажу та відповідний курс євро/долар США за один день тижня

t, min

Рис. 5. Автокореляційна (Rxx(t)) та взаємно кореляційна RxY(t)) функції системи «обсяг продажу — курс євро/долар США»

На основі отриманих результатів робимо висновок, що залеж­ність обмінного курсу євро/долар США від обсягу продажу ви­значається імпульсною характеристикою. Для її адекватної оцін­ки доцільним є використання інтегрального рівняння Вінера— Хопфа. Описаний алгоритм справедливий для систем, які задоволь­няють наступним умовам:

• стаціонарність, тобто форма її реакції на довільну вхідну послідовність не залежить від вибору початку відліку часу;

• лінійність (вихідна реакція на лінійну комбінацію вхідних послідовностей співпадає з лінійною комбінацією вихідних реак­цій на кожну окрему вхідну послідовність);

• причино обумовленість (значення вихідного ряду у довіль­ний момент часу залежить від значень вхідного ряду у більш ранні моменти часу до поточного моменту включно).

Обчислення імпульсної характеристики дозволяє визначати реакцію валютного ринку на відповідний вплив у вигляді зрос­тання або зменшення пропозиції грошей, а, отже, формувати стратегію управління валютними позиціями.

Література

1. Вахненко Т. Визначальні фактори формування обмінних курсів // Вісник НБУ. — 2004. — № 8. — С. 31—37.

2. Мерфи. Дж. Технический анализ фьючерсных рынков: теория и практика.-М.: Диаграмма, 2000. — 592 с.

3. Якимкин В. Н. Финансовый дилинг. Книга 1. — М: ИКФ Омега-Л, 2001. — 496 с.

4. Швагер Дж. Технический анализ. Полный курс. М.: Альпина Бизнес Букс, 2006. — 806 с.

5. Пермяков А. Фундаментальная сторона рынка.// Валютный спе­кулянт. — 2000. — № 4. — С. 62—65.

6. Смирнов А., Гизатулин А. Новый метод сглаживания ценовых графиков // Валютный спекулянт. — 2002. — № 12. — С. 38—40.

7. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. М.: Мир, 2000. — 333 с.

8. Кравчук В. Новый адаптивный метод следования за тенденцией и рыночными циклами.// Валютный спекулянт. — 2002. — № 12. —

С. 48—53.

9. Доровской В. А., Шелевицкий И. В. Оперативный сплайн прогноз валютных курсов // Придніпровський науковий вісник: Дніпропет­ровськ. — 1998. — № 129. — С. 72—83.

10. Гроп Д.  Методы идентификации систем.-М.: Мир,  1979. —

302 с.

11. Солонина А. И., Уласович Д. А., Арбузов С. М., Соловьева Е. Б. Основы цифровой обработки сигналов. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005.

— 768 с.

12. Шелевицький І. В. Методи та засоби сплайн-технології обробки сигналів складної форми: Наукове видання. — Кривий Ріг: Європейсь­кий університет, 2002. — 304 с.

УДК 336.713:330.131.7

Н. К. Водзянова, старший викладач,

В. М. Водзянова, аспірант,

ДВНЗ «КНЕУ імені Вадима Гетьмана»

КОНЦЕПТУАЛЬНІ ПІДХОДИ ДО МОДЕЛЮВАННЯ ТА УПРАВЛІННЯ ОПЕРАЦІЙНИМ РИЗИКОМ КОМЕРЦІЙНОГО БАНКУ

АНОТАЦІЯ. В статті розглянуто теоретичні аспекти моделювання та управління операційним ризиком комерційного банку та охарактеризова­но основні підходи до його оцінки, запропоновані Базельським комітетом з питань банківського нагляду. Також описано ряд стратегій управління операційним ризиком з врахуванням таких факторів, як частота не­сприятливих подій та їх величина у грошовому еквіваленті.

SUMMARY. Theoretical aspects of operational risk modeling and management in banking institutions are reviewed and major measurement approaches for operational risk introduced by Basel Committee on Banking Supervision are characterized in the article. A number of techniques of dealing with operational risk considering such factors as loss frequency and loss severity are described.

КЛЮЧОВІ СЛОВА. операційний ризик, комерційний банк, моделювання, управління, модель, Базель ІІ, збитки, резервування капіталу, чистий дохід.

Комерційні банки усвідомили виключну роль використання математичних методів в управлінні кредитним та ринковим ри­зиками, а останнім часом звертають все більшу увагу на можли­вість їх застосування при управлінні операційним ризиком. Су­часні математичні методи та програмні комплекси забезпечують ризик-аналітиків усіма необхідними засобами для моделювання операційних ризиків та оцінки їх наслідків.

Моделювання розглядається банківськими установами як клю­човий етап у процесі управління операційним ризиком, оскільки його результати дозволяють надати керівництву вичерпну інфо­рмацію щодо величини операційного ризику, на який банк нара-

© Водзянова Н. К., Водзянова В. М., 2010

Страницы:
1 


Похожие статьи

І І Стрельченко - Використання інтегрального рівняння вінера-хопфа для моделювання динаміки обмінних курсів