Ю Прокопенко, Ю Філіпов, І Шипілова - Власні частоти півциліндричного діелектричного резонатора з циліндричною неоднорідністю - страница 1

Страницы:
1 

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ

Серія фізична. 2008. Вип.41. С.125-130

VISNYKLVIV UNIV. Ser.Physic. 2008. № 41. P.125-130

УДК 621.372.413

PACS: 03.50 De; 11.10-z, 42.60 Da

ВЛАСНІ ЧАСТОТИ ПІВЦИЛІНДРИЧНОГО ДІЕЛЕКТРИЧНОГО РЕЗОНАТОРА З ЦИЛІНДРИЧНОЮ НЕОДНОРІДНІСТЮ

Ю. Прокопенко, Ю. Філіпов, І. Шипілова

Інститут радіофізики та електроніки імені О. Я. Усикова НАН України відділ фізики твердого тіла вул. Ак. Проскури, 12, 61085Харків, Україна e-mail: shipilova@ire.kharkov.ua

Досліджено півциліндричний діелектричний резонатор з циліндричною діелектричною неоднорідністю. Проаналізовано вимоги, яким має відповідати поле власних коливань резонатора. Запропоновано вирази для визначення компонентів електромагнітного поля аксіально-однорідного власного коливання резонатора. Отримано характеристичне рівняння, розв'язки якого визначають власні частоти резонатора. Такий резонатор є перспективним для вимірювання діелектричних властивостей речовин, які займають малі об'єми.

Ключові слова: діелектричний резонатор, характеристичне рівняння, власні частоти резонатора.

У наукових джерелах був описаний півциліндричний квазіоптичний діелектричний резонатор з ідеально провідними плоскими поверхнями [1]. У такому резонаторі, розташованому в повітрі, енергія електромагнітного поля власного коливання типу "галереї, що шепоче" зосереджена біля бічної циліндричної поверхні з максимумом всередині діелектрика. Дослідження електрофізичних параметрів речовин свідчать про їхню взаємодію з електромагнітними полями. Виникає природне бажання помістити досліджувану речовину в максимум цього поля. Певні перспективи в області дослідження електрофізичних параметрів речовин має півциліндричний діелектричний резонатор з циліндричною неоднорідністю (рис. 1). Резонатор на торцях обмежений ідеально провідними поверхнями. Півциліндр і циліндрична неоднорідність виготовлені з ізотропних діелектриків із проникностями є1 = є[ + itg51 і єг = є[, + itg5r відповідно. Магнітні проникності речовин є ц1 і .

Резонаторна структура занурена в середовище з проникностями є2 2 + itg52 і

Поздовжня вісь Z' циліндра з речовини, яка відрізняється від речовини півциліндра, спрямована паралельно до осі Z резонатора. Основи півциліндра і циліндричної неоднорідності розміщені в одних площинах, які є торцевими стінками резонатора. Радіус кривизни півциліндричної поверхні резонатора дорівнює р0. Поздовжня вісь Z' циліндричної неоднорідності, діаметр якої 2 ,

© Прокопенко Ю., Філіпов Ю., Шипілова І., 2008розташована на відстані pc від осі Z резонатора і має координати (pc, cpc, z ). Відстань між поверхнею півциліндра і центром неоднорідності не менша віж її радіуса, тобто p0 - pc > p'cl. Керуючись геометричними міркуваннями, для досліджуваного резонатора азимутальний кут напрямку до центра внутрішнього циліндра cpc задовольняє умову acl < cpc < n-acl, де 2 acl - кут огляду циліндричної неоднорідності (рис. 2).

Рис. 1. Півциліндричний діелектричний резонатор з циліндричною неоднорідністю

Рис. 2. Система   координат   півциліндричного   діелектричного резонатора з циліндричною неоднорідністю

Проглядається дві можливості вибору системи координат у резонаторі: з початком на поздовжній осі циліндра (p , p , z ), з якого утворений півциліндричний резонатор, і з початком на осі циліндричної неоднорідності (p', cp', z'). Зв'язок між компонентами довільного вектора a, що подано в обох системах координат, виражений через матрицю якобіана переходу так:

^5р     1 5р    0 ^ др '     р дф'

др'р'дф'

0        0 1

З властивостей прямої і оберненої матриць якобіана переходу робимо висновок, що між системами (р, ф , z ) і (р', ф', z') є функціональні зв'язки:

р'2 ср' cos(cpc -ф') = р2 ср cos(cpc -ф) ; р' 5ІП(фс -ф') = р5ІП(фс -ф) Поля власних коливань досліджуваної резонаторної структури визначаються розв'язками рівнянь Максвела. У циліндричній системі координат рівняння Максвела  значно   спрощуються  у   випадку   аксіально-однорідних коливань

(д / dz = 0).

Розв'язки системи рівнянь Максвела у просторі півциліндра при р<р0 (v = 1; 1') мають задовольняти такі умови:

• поля в початках систем координат р =0 і р' =0 (р = рс) є кінцевими;

• дотримано граничної умови на ідеально провідній плоскій поверхні за

ф = 0; п;

• тангенціальні компоненти поля на поверхні циліндричної неоднорідності р' = р'с1 (або р = рСІ) є безперервними.

Аксіальні компоненти поля власної TMm s 0 моди досліджуваної резонаторної структури усередині циліндричної неоднорідності мають вигляд:

V2* A B (со )

Ez1' = AEm expH<V) L    , Jm' РО^О'»2'^ ;

Ez1 = AEm exp(-/ra J)

m=-»A m (ю p )

+2, A D (го )

: iAEm exp(-iropt)Jm 1р0)  Qmm' ят'Чьр^шОяф),

>Ш' Jm' 1'рС/ )     Vh Jm'1р С/ )

1

Jm (Хгрс/)

mm mm

e1      (х1рС/)

M1 Jm■(l 'cl)

Gm

j k Jm 1рс/ )x1  +рс с°^фс) )sin(mфcl)-

2пШ 00 kp

Jm (ХА/ ^Іп(фс - ф') cos^d)] exp(-im'ф')dф';

2п

c

Fmm' = 2П j Jm )SІn(mфcl )eXp(-imV)d ф' ;

AD (ГОp )

mm

Jm'(Х1рСl )

Gmm -Fm

fs7 Jm (хгрС/)

mm mm

Mt Jm 1'рС/) _ j Jm' (Х1р0) sin^) exp(im 'ф 0 )dф;

X2 kp,, Jm(XvPv) і Nm(XvPv) - циліндричні функції Беселя і Неймана, H'm^ (х2р) - циліндрична функція Ханкеля першого роду, kp =rop / c, rop -комплексна власна частота резонатора, AEm - постійна величина, яка визначається умовами збудження. Штрих у циліндричних функцій позначає диференціювання за аргументом.

Поперечні компоненти поля власної TMm s 0 моди резонатора виражені так: яр1' =рГ[ (р-рс cos(фc ))Яр, 1' +рс sin(фc ф'Г]exp(-iropt);

нф1' =-т[ рс sin(ф-фcр! +(р-рс cos(фc ))Яф,   exp(-iropt);

Я,

р1 mkpf>

AD К )r ) рcрsІn(фc -ф)

tJm'

mJm lр)cos(mф) + L TD (p) tix1 Jm - (х1р ' ———-+

Яф

+mJm1р')

,0   срcos(фc -ф) exp(-iropt);

1 p

v,     ч w     ч ,  AD(roph   'T   ,     'чрс SІn(фc-ф)

X1 Jm 1р) Sin(mф) +  L   л        Л [m Jm ) ' --

-хЛ^р')р-рС C0S(Фc]exp(m'ф')

m^-»Am'(rop ) р "

]

exp(-icot);

Яр 2 = AEm

m Jm 1р0) - Qmm' Я (1) H- 2 kpр Я™)(Х2р0)

Яml (X2р^^ф^р^ю pt):

Яф2= -AEm

S2 Jm 1р0) Qmm' Я(1) H 2        Яml)(X 2р0)

Я»' (X2P)sin(mф)exp(-iюpt),

де

Я р' 1'

L к   , \ m Jm 1 ) exp(im ф );

V■l'kpр  m'=-»Am'(«p )

A B (ГО p )   r '

Яф' 1 = iAm.\^ L Jm.'^ ')exp(im 'ф').

Задовольняючи граничні умови безперервності тангенціальних компонент поля на поверхні півциліндра р = р0, одержуємо систему однорідних алгебричних рівнянь. Умова існування її нетривіальних розв'язків має вигляд характеристичного рівняння

1

К Jm 1р0) - Wmm'  =    ЇК Я?'(Х2р0) Vh  Jm 1р0) - Qmm'       V ^2 Яml)(X2Pо)'

(1)

розв'язки якого визначають комплексні власні частоти досліджуваної резонаторної структури з TMm s 0 модами. Тут

Отож, у роботі наведено результати електродинамічного аналізу півциліндричного діелектричного резонатора з циліндричною неоднорідністю. Показано, що власні частоти такого резонатора визначаються розв'язками характеристичного рівняння (1). Наявність ідеальної провідної поверхні y = 0

зумовлює пропорційність компонент Ezv ~ sin(mф) і Hzv ~ cos(mф), що зумовлено виконанням граничних умов на поверхні ідеального провідника при ф = 0 і ф = п.

Півциліндричний діелектричний резонатор з циліндричною неоднорідністю викликає зацікавленість для вимірювання діелектричних проникностей речовин, наприклад, які займають малі об'єми. Загалом властивості речовини, як з малими, так і з великими втратами, визначаються розв' язками рівняння (1) відносно діелектричної проникності неоднорідності є1 на основі експериментально виміряних спектральних та енергетичних характеристик резонатора з TMm s 0 модою за відомих діелектричних властивостей інших середовищ.

1. Филиппов Ю. Ф., Харьковский С. Н. Квазиоптический зеркальный диэлектрический резонатор // Квазиоптическая техника мм и субмм диапазонов волн. Харьков: Ин-т радиофизики и электроники АН УССР, 1989. С. 28-34.

+ р0 -p>c CX^c -ф)

J'm'(Х1р0) Isin(mф)exp(im^0)dф.

EIGEN FREQUENCIES OF SEMI-CYLINDRICAL DIELECTRIC RESONATOR WITH CYLINDRICAL NON-UNIFORMITY

Yu. Prokopenko, Yu. Filipov , I. Shipilova

Usikov Institute of Radiophysics and Electronics National Academy of Sciences of Ukraine department of solid-state physics 12, Akademika Proskury, 61085 Kharkov, Ukraine e-mail: shipilova@ire.kharkov.ua

A semi-cylindrical dielectric resonator with cylindrical non-uniformity was studied. The requirements for field of eigen oscillations are analyzed. The expressions for determination of electromagnetic field components for axial-homogeneous eigen oscillations of resonator are given. The characteristic equation was obtained to determine eigen frequencies of resonator. Such resonator is of interest for measurement of dielectric properties of substances, which are occupying small volumes.

Key words: dielectric resonator, characteristic equation, eigen frequencies of resonator.

Стаття надійшла до редколегії 17.05.2006 Прийнята до друку 09.06.2008

Страницы:
1 


Похожие статьи

Ю Прокопенко, Ю Філіпов, І Шипілова - Власні частоти півциліндричного діелектричного резонатора з циліндричною неоднорідністю