Т В Хомяк - Влияние дополнительных тонов колебаний жидкости на устойчивость и стабилизацию вращения - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2013, № 1

УДК 531.36, 531.38

ВЛИЯНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ТОНОВ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ НА УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЮ ВРАЩЕНИЯ НЕСВОБОДНОГО ВОЛЧКА ЛАГРАНЖА, НАПОЛНЕННОГО ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Т. В. Хомяк

Рассматривается задача об устойчивости и стабилизации неустойчивого вращения несвободного волчка Ла-гранжа с произвольной осесимметричной полостью, заполненной идеальной жидкостью, при помощи вращающегося твердого тела. В рамках необходимых условий устойчивости аналитически показана возможность стабилизации с учетом дополнительных тонов колебания жидкости. Численные расчеты подтвердили результаты аналитических исследований.

Ключевые слова: волчок Лагранжа, идеальная жидкость, устойчивость, пассивная стабилизация, цилиндриче­ская полость.

Введение. Известно, что жидкость оказывает дестабилизирующее влияние на устойчивость вра­щения твердого тела. Как показано в работе С. Л. Соболева [1] вращение такого тела является довольно неустойчивым. В этой связи актуальной является задача поиска возможностей стабилизации такой меха­нической системы. Одной из возможностей является ограничение подвижности жидкости путем введения в полость перегородок. В работе [2] показана возможность стабилизации вращения волчка при помощи безмассовых поперечных и коаксиальных перегородок. Однако на практике это не всегда может быть выполнено. Другой возможностью стабилизации могут быть гироскопические силы [3], внешние момен­ты [4]. Интересный эффект стабилизации неуравновешенного гироскопа Лагранжа вторым вращающимся был обнаружен донецкой школой механиков [5, 6]. В дальнейшем эффект стабилизации был исследован учениками А. Я. Савченко [7, 8].

В работах [9, 10] с учетом основного тона колебания жидкости показана возможность стабилиза­ции неустойчивого свободного и несвободного вращения твердого тела с жидкостью при помощи вра­щающегося твердого тела. В статье [11] с учетом дополнительных тонов колебания жидкости разработа­на методика исследования задачи стабилизации свободного твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом. Данная статья является продолжением работы [11] на случай несвободного волчка Ла-гранжа с жидкостью.

Постановка задачи и метод исследования. Рассмотрим несвободную (точка O1 неподвижная)

систему двух твердых тел 51 и S0, связанных упругим сферическим шарниром в точке O2 (рис. 1). Тело S1 содержит произвольную осесимметричную полость, полностью заполненную однородной, несжимае­мой, идеальной жидкостью. В невозмущенном движении тело 51 вращается как одно целое с угловой ско­ростью а>01, а S2 - с <»02 . Эти вращения происходят вокруг общей оси симметрии, параллельной вектору g . Поставим задачу о возможности стабилизации неустойчивого вращения тела S1 вторым вращающимся

телом S20 с учетом дополнительных тонов колебания жидкости.

Разработанный в статье [11] для свободной системы метод исследо­вания будет распространен на случай несвободной системы. Уравнения возмущенного движения несвободной системы упруго связанных двух твердых тел, одно из которых содержит жидкость, имеют вид [12, 13]

4'q 1 + А + <V2^ 1 + 2^anS'n= (ct1g - k)уъ

A2&2 + iC>02Q2 + s21 = (a2g - k^ 71 = Qb Ї2 = ^ (1) Sn + i(«01 -K)Sn + anN-2(&1 + 0А) = 0 (n = 1,2...),

A1 = 4-Здесь Aj и Cj

мент инерции

-m2 s1

A2

21

1c1 +

22

соответственно главный экваториальный и осевой мо-

тел

S1

S20

относительно точки

Oj   (j = 1,2);

g

Рис. 1

00

и

© Qj = q'j - ip'j,   S'n = e lc°0x1 Sn, 7j =ocj + io^, S1 = O1O2, C1 = Od, C2 = O2C2 ; pj, qj - проекции

возмущенной угловой скорости j -го тела; Sn - коэффициенты разложения возмущенной относительной

скорости жидкости; aj и       - направляющие косинусы j -го тела (j = 1, 2). В отличие от работы [11]

в уравнении (1) моменты инерции Aj и Cj вычислены относительно точки Oj (j = 1,2).

Частотное уравнение движения такой системы записывается следующим образом [11 - 13]

2

F1F2-(// + k/A2 ) = 0, (2)

где

F = A + ^ + alg-k - (A + «01)Y-^, F2 = A2 + ^ + a2gfk, 11      A        A hA + An * A

M = s1a2, ~An =(1 - 2/Kn )®01. В случае вырождения сферического шарнира в цилиндрический (k = 00) уравнение (2) принимает вид

F + F2 + 2/г = 0. (3)

Здесь

A      A m'n=1A +A A A2

С учетом только основного тона колебания жидкости ( n = 1 ) частотное уравнение (2) принимает вид по­линома 5-ой степени, которое исследовано в работах [9, 10], а при n =1, 2 уравнение (2) записывается следующим образом

b0 A 6 + b1 A 5 + b2 A4 + b3 A3 + b4 A2 + b5 A + b6 = 0, (4) коэффициенты которого имеют вид

bj = bj1 A + bj2A2 + b*-2 (0,0)A A2 + b*, bj1 = b*-1 (0, E2), bj2 = b*-1 (E1,0), (j = 1,6) (5)

A* = A1 - E1 - E2, C* = (C1 - E1 - E2 )«01, C2 = C2«02; b0 = b* (E1, E2) = A*A2 - m2, b* (E1, E2) = A2C* + A*(?2, b*1 = b* = b6 =    =     = 0, b*(EbE2) = -(A* + A2 + 2//)k + C\C2 +g{A2a1 + £*~a2) , b* (E1, E2) = -(C* + C?2)k + g(C2a + C*a2), b4* = g (a^2g - ^ + ct2 )k), В случае трех тонов ( n = 1, 3 ) уравнение (2) является полиномом 7-ой степени

b0 7+b1 6+b2 5+b3 4+b4 3+b5 2+b6 +b7=0 , (6)

где

bj = bj1 A + bj2 A + bj3 A3 + b*-2(0,0, E3) A A + b*-2(0, E2,0)A1 A3 + b^^-2(E1,0,0)Az A3 +

+b*-3(0,0,0) A A A3 + bj, bj1 = b*-1(0, E2, E3), bj2 = b*-1(E1,0, E3), bj3 = b*-1(E1, E2,0), (7)

A* = A1 - E1 - E2 - E3, C2 = C2«02, C* = (C1 - E1 - E2 - E3)«01;

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

Т В Хомяк - Влияние дополнительных тонов колебаний жидкости на устойчивость и стабилизацию вращения