О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Аналітична геометрія

 

 

 

О.А. БорисенкоЗміст

 

 

 

 

1   Векторна алгебра                                                                                 7

1.1    Декартові координати...........................................................        7

1.2    Найпростіші задачі аналітичної геометрії...........................      11

 

1.2.1    Відстань між точками................................................      11

1.2.2    Поділ відрізка у даному відношенні........................      12

 

1.3    Паралельний перенос............................................................      13

1.4    Вектори...................................................................................      16

 

1.4.1    Абсолютна величина і напрям вектора...................      16

1.4.2    Координати вектора..................................................      18

1.4.3    Застосування векторів...............................................      18

1.4.4    Лінійні операції над векторами................................      19

1.4.5    Колінеарні вектори....................................................      21

1.4.6    Розкладання вектора по двох неколінеарних векто-
рах
................................................................................      23

1.4.7    Розкладання вектора по трьох некомпланарних век-
торах
................................................................................ 23

1.4.8    Деякі відомості з лінійної алгебри                                                 24

1.5.. Скалярний добуток векторів                                                      26

1.5.1    Проекція вектора на вісь                                                                29

1.5.2    Проекція вектора на площину..................................      30

 

1.6    Орієнтація площини і простору...........................................      30

1.6.1    Деякі відомості з алгебри                                                             33

1.7    Векторний добуток. Змішаний добуток                                                   38

 

1.7.1    Векторний добуток                                                                         38

1.7.2    Геометричні застосування векторного добутку. ... 42

1.7.3    Змішаний добуток                                                                           43

1.7.4    Геометричний зміст змішаного добутку                                       44

1.7.5    Основні формули сферичної тригонометрії...........      46

1.8.1    1.8................................................................................ Перетворення координат ..................................................................................... 47Перетворення координат вектора при переході до
нового базису
............................................................. .... 47

1.8.2    Поняття коварiантних та контраварiантних коорди-
нат вектора
................................................................. .... 49

1.8.3    Перетворення координат вектора при пєрєході від
ортонормованного до ортонормованного базисів. . .  50

1.8.4    Перетворення координат точок при пєрєході до но-
вої системи координат
.............................................. .... 52

2    Прямі i площини                                                                                 55

2.1.. Рівняння прямої і площини                                                       55

2.1.1    Механічний зміст прямої.......................................... .... 56

2.1.2    Загальне рівняння площини у просторі і прямої на
площині                                                                                            57

2.1.3    Параметричне рівняння площини                                                 59

2.1.4    Рівняння площини, що проходить через три точки.   60

2.1.5    Загальне рівняння прямої в просторі. ......................... 60

2.2.. Відстань від точки до прямої і площини                                  62

2.2.1    Відстань від точки до площини (прямої на площині). 62

2.2.2    Відстань від точки до прямої в просторі. .                    64

2.2.3    Відстань між мимобіжними прямими..................... .... 64

2.2.4    Рівняння загального перпендикуляру двох мимобі-
жних прямих                                                                                    66

2.3.. Кути між прямими і площинами                                              67

2.3.1    Кут між прямими. Умови паралельності і перпен-
дикулярності прямих                                                                       67

2.3.2    Кут між площинами. Умови паралельності і пер-
пендикулярності площин. ............................................ 67

2.3.3    Кут між прямою і площиною. Умови паралельності

і перпендикулярності прямої і площини                                      67

2.4   Жмуток і в'язка прямих (площин)....................................... .... 68

3    Опуклі множини                                                                                 71

3.1    Приклади опуклих множин                                                                       71

3.2    Опукла оболонка................................................................... .... 76

3.3    Опорна пряма та опорна площина...................................... .... 79

3.3.1   Зв'язок між опуклими множинами і опуклими фун-
кціями
.......................................................................... .... 82

3.4    Відділимість опуклих множин                                                                  84

Найпростіша задача лінійного програмування                                                     86
6      Загальна теорія кривих і поверхонь                                                                                                159

6.1    Метрична класифікація кривих 2-го порядку.................... .. 159

6.2    Центр, вісь і площина симетрії............................................ .. 164

 

6.2.1    Центр поверхні (кривої) 2-го порядку..................... .. 164

6.2.2    Вісь симетрії кривої. Площина симетрії поверхні.   . 166

 

6.3    Дотичні площини поверхні.................................................. .. 170

6.4    Інваріанти і форми кривих (поверхонь) ............................ .. 175

6.4.1   Асимптоти гіперболи. Асимптотичний конус гіпер-
болоїда
......................................................................... .. 185

6.5    Прямолінійні твірні на поверхні 2-го порядку................... .. 189

6.6    Топологічні властивості кривих (поверхонь).................... .. 195

7    Геометричні перетворення                                                               201

7.1   Рухи........................................................................................ .. 201

7.1.1    Рухи на площині........................................................ .. 202

7.1.2    Рухи в просторі                                                                                211

7.1.3    Кути Ейлера............................................................... .. 218

 

7.2    Дискретні групи рухів                                                                                219

7.2.1    Дискретні групи і правильні точкові системи                           220

7.3    Афінні перетворення                                                                                  227

 

7.3.1    Будова групи афінних перетворень на площині.   . . 231

7.3.2    Паралельне проектування                                                              232

7.4   Проективні перетворення                                                                   235

7.4.1   Дуальність                 238Розділ 1

 

Векторна алгебра

 

 

 

1.1   Декартові координати на прямій, площині i в просторі.

Віссю називається пряма, на якій обрано початок відліку, додатний напрям і одиницю довжини (масштаб). Відрізок, обмежений двома до­вільними точками осі, називається напрямленим, якщо вказано, яка з двох вибраних точок є початок, а яка кінець. Напрямлений відрізок, обмежений точками A і B, початком якого є точка A, позначається AB. Напрямком відрізка вважається напрямок від початку до кінця.

Величиною напрямленого відрізка деякої осі називається число, що дорівнює довжині цього відрізка, взятої зі знаком плюс, якщо напрями відрізка і осі співпадають, і зі знаком мінус, коли напрями протилежні. Величина напрямленого відрізка AB позначається через AB (без риски). Відстанню між точками A і B є модуль величини напрямленого відріз­ка AB, тобто |AB|. Якщо початок і кінец напрямленого відрізка спів­падають, то його величина дорівнює нулю, а сам відрізок називається нульовим.

Очевидно, що для будь-яких трьох точок A, B, C деякої осі, величини напрямлених відрізків AB, BC і AC зв'язані співвідношенням

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія