О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 10

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

І«11 & I cos (а,Ь)

Ргьа = ^ЩьГь = ^)ь

Вправа. Довести, що

1.) Ргь{аі + ... + ап) = Ргьаі + ... + Ргьап;

2.) Ргь(аа) = аРгьа

Рис. 25

 

 

1.5.2   Проекція вектора на площину.

Ортогональною проекцією вектора а на площину тт (позначається че­рез Ргжа) називається вектор, початок і кінець якого співпадають відпо­відно з основами перпендикулярів, що опущені з початку і кінця вектора а на площину тт (рис. 25). Нехай п пряма, що перпендикулярна до пло­щини тт, вона називається нормаллю. Легко бачити, що Ргжа = а Ргпа (рис. 26). Напрямлений вектор нормалі, який називається нормальним вектором, будемо позначати через ті.

Отже,

Ргпа = а-,    г-п.

(ті, ті)

Вправа. Довести, що Ргж{а\ + ... + ап) = Ргжа\ + ... + Ргжап.

 

1.6   Орієнтація площини і простору.

Нехай на площині (або в просторі) задано два базиси е = {еье2},   е' = {е[,е'2}   = {еь е2, е3},   е' = {е[, е'2, е'з».В базисі важливий порядок векторів: {e1, e2} i {e2, e1} різні базиси площини.

Будь-який вектор площини є лінійна комбінація базисних вєкторів, тому

e і = a^e і + ale 2,   e 2 = a^e і + ci^e 2. (1.6)

 

Розглянемо матрицю A ^1    1    2  ) , рядки якої координати векто-

a2 a2

рів e 1 і e2 в базисі e 1, e'2. Матриця A називається матрицею переходу від першого базису до другого.

Введемо поняття визначника (детермінанта) матриці A, він позна­чається через det A або |A|. Якщо A = (a), то det A = a, якщо A =і2

al a\

2

a2 a22

то det A


= a1a2 a2a2. Пишуть щеdet A


12

a11 a21

12

a1 a2Якщо


A


a11

a12

a21

a22

a31

a32

 

то


 

det A


a22


a2


al a

a32


3


a12

1

 

a22aa


a3 a


a3 aЗауваження. Якщо e i e' базиси, то визначник матриц переходу вiд першого базису до другого det A = Доведення. Розглянемо двовимірний випадок. Припустимо, що det A Тоді рядки матриці A пропорційні, тобто(1.7)

a12 =

,   a2 Xa2.

Підставимо (1.7) в другу рівність системи (1.6), одержимо e2 = X(a11e1 + a21e2) = Xe1,

тобто вектори e1 і e2 колінеарні, а це суперечить тому, що e1 і e2 утво­рюють базис площини. Одержана суперечність доводить, що det A = 0.

 

Справедливість зауваження в тривимірному випадку випливає із вла­стивостей визначників.Рис.21


Рис.28
Отже, визначник матриці переходу від одного базису до іншого зав­жди відрізняється від нуля, але він може бути як додатним так і від'єм­ним.

Приклади.

2.   1. е[ = —еі, е'2 = ег (рис. 27).
е[ = Єї, е'2 = ег (рис. 28).

А=(1   -1 )'   detA = ~1-

3.   е[ = ег, е'2 = е\ (рис. 29).

А=([°1  J )'   detA = -l.

 

4.       = —еі, е'2 = — ег, е'з = —ез (рис. ЗО).

-10     0 \

0 -1 0 , det А = -1. 0     0    -1 /5. е[ = еі, е'2 = ег, е'з = —ез (рис. 31)А =6.     = —еі, е'2 = — ег, е'з = ез (рис. 32).л =Рис. 31

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія