О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 11

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Рис. 32Два базиси е і е' називаються еквівалентними ~ е'), якщо ви­значник матриці переходу від першого базизу до другого додатний.

 

1.6.1   Деякі відомості з алгебри.

Нехай є деяка множина. Кажуть, що на цій множині задано відно­шення еквівалентності (~) між її елементами а,Ь,с,..., коли виконую­ться вимоги:

1.  а ~ а рефлексивність,

2.  a^b^b^a— симетричність,

3.  а ~ 6, 6 ~ с => а ~ с — транзитивність.

Якщо на множині задано відношення еквівалентності, то всі елемен­ти такої множини поділяються на неперетинні класи еквівалентних один одному елементів.

 

Приклади.1.          Розглянемо множину всіх прямих на площині. Відношення еквіва-
лентності задано так: дві прямі еквівалентні, якщо вони паралельні
або співпадають. Множина всіх прямих на площині розпадається
на класи паралельних прямих.

 

2.         Класи однаково напрямлених променів задають напрям вектора.

■ b^, де підсумовування проводиться по s. Пишуть

Нехай є дві квадратні матриці A = (ak), B = (bi) n-го порядку. Добутком двох квадратних матриць називається така матриця C = (ck), елементи якої ck -AB = C.

B

Приклад.

 

cos ф2

Sin ф2


Нехай A

 

Sin ф2 COS ф2


 

 

 

тоді


COS ф1

sin ф1

sin ф1

COS ф1AB


(


COS ф1 Sin ф1 Sin ф1   COS ф1


)(


COS ф2 Sin ф2 Sin ф2   COS ф2COS ф1 COS ф2 — — Sin ф1 COS ф2


Sin ф1 Sin ф2       COS ф1 Sin ф2 + Sin ф1 COS ф2 - COS ф1 Sin ф2    Sin ф1 Sin ф2 + COS ф1 COS ф2

COS(^1 + ф2)     Sin(^1 + ф2) \ Sin(^1 + ф2)    COS(^1 + Ф2) / 'Властивості добутку матриць.

1.  det(AB) = det A det B.

2.  Для кожної матриці A, такої, що det A = 0, існує обернена ма­триця A-1, тобто така, що AA-1 = A-1 A = E, де E одинична

 

матриця, E = |       •..       I ,   і    det A 1

det A'

V0     1JПриклад.


 

AВправа. Користуючись визначенням оберненої матриці (AA 1 = = A-1A = E), знайти матрицю, що обернена до матриці

A = (  cos ф    sin ф \ у sin ф   cos ф ) '

Повернемося до базисiв i пєрєвіримо, чи задовольняє введене вище визначення еквівалентності базисiв вимогам рефлексивності симетри­чності і транзитивность

1. Рефлексивність. Перехід від базису e до базису e здійснюється за допомогою матриці A = ( 0   ^ ^ ,   detA = 1 > 0' Тому e ~ e.

2.  Симетричність. Зауважимо, що коли A матриця переходу від базису e до базису e', то A-1 матриця переходу від базису e' до базису e. Нехай e ~ e' , тоді det A > 0, де A матриця переходу від базису e до базису e'. Але A-1 матриця переходу від базису e' до базису e і det A-1 = де > 0. Отже, доведено, що із e ~ e' випливає e' ~ e.

3.  Транзитивність. Нехай A матриця переходу від базису e до базису e', Б матриця переходу від базису e' до базису e''. I нехай e ~ e', e' ~ e'', тобто det A> 0, det Б > 0.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія