О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 12

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Покажемо, що матриця C переходу від базису e до базису e'' до­рівнює БA. Проведемо обчислення для двовимірного випадку.

 

Нехай A = ( ^   а<^ ^ ,   Б = (                  ^ , тоді e 1 = a1e 1 + a\e2,

e'2 = a2e 1 + a2e 2;   e" = h\e 1 + b2e'2,   e'2 =     1 + b2 e'2.

Підставимо вирази e 1, e'2, що дані першою системою, у другу, одер­жимо e 1 = c\e 1 + c\e 2, e'2 = 1 + c2e 2, де ck елементи матриці БA.

Але det(AБ) = det A det Б > 0, тому e ~ e''. Отже, доведено, що із e ~ e', e' ~ e'' випливає e ~ e''.

Таким чином, всі базиси розділяються на два неперетинні класи. Якщо зафіксувати деякий базис e 1, e2, то всі базиси, перехід від e 1, e2 до яких здійснюється за допомогою матриці з додатним визначником, утворюють один клас; всі базиси, перехід до яких здійснюється за допо­могою матриці з від'ємним визначником, утворюють другий клас.Доведення. Нехай е', е" два таких базиса, що детермінанти ма-
триць переходу
А, В від фіксованого базису е до базисів е', е" мають
один і той же знак, тобто
det A det В > 0. Тоді матриця переходу від е'
до е" є матриця С = ВА-1, детермінант якої det С =                > 0 Отже,

базиси е', е" належать одному класу еквівалентності.

Зауваження. Задати орієнтацію на площині або в просторі це озна­чає вибрати базиси із одного класу.Рис. 33


Рис. 34Приклади.

1.  Базиси е і е' належать одному класу, тобто задають одну і ту ж орієнтацію площини, (рис. 33).

2.  Базиси е і е' належать різним класам, тобто задають різні орієн­тації площини, (рис. 34).

Базиси е і е' задають різні орієнтації площини, (рис. 35).Рис. 35


Рис. З 6Якщо базиси задають одну і ту ж орієнтацію площини, то напрям найкоротшого оберту від першого вектора до другого один і той же.Умовимося, що коли найкоротший оберт від першого вектора бази­су до другого здійснюється проти годинникової стрілки, то базис задає додатну орiєнтацiю площини; якщо ж цей оберт здійснюється за годин­никовою стрілкою, то базис задає від'ємну орієнтацію. Звичайно, при цьому фіксуємо півпростір, з якого ми дивимося на базис.

Розглянемо просторовий випадок. Нехай у просторі задано базис eі, e2, e3 і трійку некомпланарних векторів a = (a1, a2, a3), b = (b1,b2,b3), c = (c1,c2,c3). Щоб з'ясувати, чи задає базис a, b, c ту ж орієнтацію, що і базис eі, e2, eз, потрібно записати матрицю переходу від базису eі, e2, eз до базису a, b, c:

(

a1   a2   a3 \ b1   b2   b3  ] ; c1   c2   c3 J

якщо det A > 0, то базис a, b, c задає ту ж орієнтацію, що й eі, e2, e3; якщо det A < 0, то базис a, b, c задає протилежну орієнтацію.

Нехай впорядкована трійка векторів задовольняє так званому прави­лу правої руки, тобто з кінця третього вектора найкоротший оберт від першого до другого видно проти годинникової стрілки. Часто таку трій­ку векторів використовують для задання додатньої орієнтації простору (рис. 36).

Впорядковані трійки векторів, що одержуються із трійки eі, e2, e3 за допомогою циклічної перестановки векторів, задають одну і ту ж орієн­тацію простору. Тобто або всі трійки {e 1, e2, e3}, {e2, e3, eі}, {e3, e 1, e2} задають додатну орієнтацію простору, або всі від'ємну.

Запишемо, наприклад, матрицю переходу A від базису eі, e2, e3 до базису e2, e3, e 1:

 

e і = e 2,     e '2 = e 3,     e '3 = e 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія