О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 13

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

 

 

A = I  0  0   1  I ,   det A = 1.

100

Базиси {e2, e 1, e3}, {e 1, e3, e2}, {e3, e2, e 1} задають орієнтацію про­тилежну тій, яку задає базис {e 1, e2, e3}.

Запишемо, наприклад, матрицю переходу A від базису eі, e2, e3 до базису e2, eі, e3:

 

e і = e 2,     e2 = e 1,     e'3 = e 3О   1   0 \

10  0,   det А = -1. 0  0 1/

 

1.7   Векторний добуток. Змішаний добуток.

 

1.7.1   Векторний добуток.

Задамо в просторі додатню орієнтацію.

Векторним добутком векторів а і b називають вектор с (позна­чається через с = а х Ь, або с = а Л b, або с = [а, Ь]), який задовольняє наступним умовам:

1.  \с\ = \a\\b\sin(a'b), тобто модуль вектора с чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах а, Ь;

2.  c_La, C-Lb, тобто с напрямлений перпендикулярно до площини цьо­го паралелограма;

3.  впорядкована трійка векторів а, Ь, с задає додатну орієнтацію про­стору.

 

Із визначення випливає, що вектори а і b колінеарні тоді і тільки тоді, коли а х b = О; зокрема а х а = О.

Нехай орієнтацію задає базис еі,Є2,ез, що складається із взаємно ортогональних і одиничних векторів. Такий базис називається ортонор-мованим. Тоді

Властивості векторного добутку.


 

еіхе2 = е3 = -(е2хеі), е2хе3 = еі =-(е3хе2), Є3ХЄ1 = е2 =-(еіх1. a х b = —b х a косокомутативність (рис. 37).

Доведення. Нехай у просторі задано прямокутну декартову си­стему координат, i нехай a х b = c, отже вектори a, b, c задають додатну орiєнтацiю простору. Тому, якщо

 

a = (a1, a2, a3),   b = (b1,b2, b3),   c = (c1,c2, c3),

 

то

a1

a2

a3

 

b1

b2

b3

> 0.

c1

c2

c3

 

 

Оскільки (b х a)_Lb, (b х a)_La i \b х a\ = \a х b|, то b х a = Xc, де X = ±1. Вектори b, a, b х a задають додатну орiєнтацiю простору, тобто

 

b1

b2

b3

 

b1

b2

b3

0 <

a1

a2

a3

= X

a1

a2

a3

 

Xc1

Xc2

Xc3

 

c1

c2

c3

 

 

b1

b2

b3

 

Але

a1

a2

a3

< 0,   тому    X = —1.

 

c1

c2

c3

 

Отже,

a х

b=

—b х

a.

2.  (Xa) х b = X(a х b).

Довести самостшно.

3.  (a + b) х c = a х c + b х c.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія