О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 14

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

 

Доведення. Якщо c = 0, то властивють має мксце. Нехай c = 0. Не втрачаючи загальноста (по властивоста 2), будемо вважати, що \c\ = 1.

Позначимо через п площину, що перпендикулярна до вектора c, а через a' проєкцію вектора a на площину п (рис. 38). Площа парале­лограма, натягнутого на вектори a i c, дорівнює площі паралелограма, натягнутого на вектори a' і c, тому \a х c\ = \a' х c\. Вектори a х c і a' х c перепендикулярні до однієї і тієї ж площини. Найкоротший оберт від вектора a до вектора c, і від a' до вектора c видно проти годинни­кової стрілки з однієї і тієї ж сторони. Отже, a х c = a' х c.Довести, що напрями векторів a х c i a' х c співпадають, можли­во аналітично. Виберемо в просторі прямокутну декартову систему ко­ординат так, щоб c = (0,0,1). Введемо позначення: d = a х c. Тоді a = (a1, a2, a3), d = (d1, d2, d3) і0 <


123

a1   a2 a3

001

d1 d2 d3

 

a2d1 a1d2


(1.8)a' = (al,a2, 0),   a' х c = Xd,   X = ±1. Але вектори a', c, a' х c задають додатну орієнтацію простору, отже0<


a1   a2 0 001 Xd1 Xd2 Xd3

 

-X(a1d2 - a2d1)


(1.9)Гз (1.8), (1.9) випливає, що X = 1, тобто доведено, що напрями a х c і a' х c співпадають. Аналогічно можливо показати, що b х c = b' х c і (a + b) х c = (a + b)' х c.

Доведемо, що (a + b)' х c = a' х c + b' х c, \a' х c\ = \a'\, \b' х c\ = \b'|, \(a + b)' х c\ = \(a + b)'\. Вектор a' х c одержується із вектора a' обертом останнього на кут п/2 в площині, перепендикулярній до вектора c , і з кінця вектора c оберт від вектора a до вектора a х c видно по годинниковій стрілці; тобто трійка a', a' х c, c задає додатну орієнтацію простору. Аналогічне твердження вірне для векторів b' х c і (a + b)' х c, тобто паралелограм, натягнутий на вектори a , b , обертається на кут п/2 в площині, що перпендикулярна до вектора c, і займає положення паралелограма, натягнутого на вектори a' хc і b' хc. Отже, (a + b)' хc = = a' х c + b' х c.

Оскільки a' х c = a х c, b' х c = b х c, (a + b)' х c = (a + b) х c, то (a + b) х c = a х c + b х c.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія