О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 15

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Твердження лишається істинним і у випадку, коли хоч один із век­торів a, b колінеарний вектору c.

 

Знайдемо вираження векторного добутку через координати векторів. Нехай ортонормований базис e 1, e2, e3 задає додатну орієнтацію просто­ру і a = ale 1 + a2e2 + a3e3, b = ble 1 + b2e2 + b3e3. Тоді із властивостей векторного добутку випливає, що

 

a х b = (ale 1 + a2e2 + a3e3) х (ble 1 + b2e2 + b3e3) =a3b2)e 1 + (a3b1 - a1b3)e2 + (a1b2 - a2b1)e3, (a2b3 - a3b2;   a3b1 - a1b3;   a1b2 - a2b1).

(a1b2 - a2bl)eі х e2 + (a1b3 - a3br)e 1 х e3 + (a2b3 - a3b2)e2 х e3

3

= (a2b3

тобто    a х b

Остання формула записується у вигляді символічного визначника так:
e1  e2 e3

123

a1   a2 a3

b1 b2 b3


 

 

a2

a3

 

a1

a3

+ e 3

a1

a2

e1

b2

b3

- e 2

b1

b3

 

b1

b2

(1.10)

Якщо векторний добуток дорівнює нулю, то координати векторів пропорційні, тобто вектори колінеарні.

Зауваження.

1.  Векторний добуток не є справжній вектор, це так званий псев­довектор.

Справа в тому, що векторний добуток залежить від орієнтації про­стору; якщо змінити орієнтацію простору, то векторний добуток змінить напрям на протилежний. Наприклад, псевдовектором є вектор напруги магнітного поля в електродинаміці, вектор момен­тів в механіці.

2.  Скалярний і векторний добуток пов'язані з однією операцією над кватерніонами.

Кватерніон четвірка чисел з трьома уявними одиницями: a0 + ia1 + ja2 + ka3,   a0, a1, a2, a3 Є R,   i2 = j2 = k2 = -1, ij = k = -ji,   jk = i = -kj,   ki = j = -ik.

Розглянемо добуток двох чисто уявних кватерніонів: (a1i + a2j + a3k)(b1i + b2j + b3k) = (a2b3 - a3b2)i + (a3b1 - a1b3)j+ +(a1b2 - a2b1)k - (a1b1 + a2b2 + a3b3),

але a1 b1 + a2b2 + a3b3 скалярний добуток векторів (a1, a2, a3) і (b1,b2,b3), а (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, alb2 - a2b1) векторний добуток тих же векторів.

Приклад. Розглянемо обертання твердого тіла навколо осі з куто­вою швидкістю ш. Тоді лінійна швидкість и точки твердого тіла, що зна­ходиться на відстані \r\ від осі обертання, де r радіус-вектор точки, дорівнює и = r х ш (рис. 39).

 

со /


 

 

 

 

 

 

 

Рис. 39
а х b|2 = |a|2|b|2sin2y> = |а|^|Ь|^(1 -cos^y) = \а\г\Ъ


a,a, bс)   (a, d

b,c) (b,d

 

 

Вправа. Довести формулу Лапласа

 

х Ь, с х d) =Зауважимо, що формула Лагранжа окремий випадок формули Ла­пласа. Вектор а х х с) називається подвійним векторним добутком. Для будь-яких векторів a, b і с справедлива формулаа х (b х с) = b(a, с) c(a,b).


(1.11)Дійсно, виберемо в просторі спеціальну декартову систему коорди­нат: вісь Oz направимо вздовж вектора с, а вісь Оу візьмемо у площині векторів b і с.Тоді a = (x,y,z), b = (0, y', z'), c = (0,0, z"). За формулою (1.10) b x c = (y'z'', 0, 0),   a x (b x c) = (0, zy'z'', -yy'z"). З іншого боку, оскільки (a, c) = zz'',    (a, b ) = yy' + zz', то

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія