О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 16

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

b(a, c > = (0,y'zz'',z'zz''),   c(a, b > = (0,0,yy'z'' + zz'z"). Із одержаних рівностєй випливає формула (1.11).

 

Вправи.

1.  Довести, що (a x b) x c = a x (b x c).

2.  Довести тотожність Якобі

(a x b) x c + (b x c) x a + (c x a) x b = 0.

Тривимірний векторний простір з операцією векторного добутку, що задовольняє тотожності Якобі, є найпростіший приклад алгебри Лі.

 

1.7.3   Змішаний добуток.

Змішаним добутком векторів a, b і c (позначається через (a, b, c)) називається (a, b, c) = (a x b, c ).

Якщо в просторі задано ортонормований базис e\, e2, e3, який має додатну орієнтацію, і координати векторів a, b, c в цьому базисі дорів­нюють відповідно a = (a1, a2, a3), b = (b1 ,b2, b3), c = (c1,c2, c3), то

a2

a3

 

a1

a3

 

a1

a2

b2

b3

 

b1

b3

 

b1

b2

(a, b, c) = c1


a2 a3

b2 b3


c2


13

a1 a3

b1 b3


+ c3


12

a1 a2

b1 b2


 

a1

a2

a3

b1

b2

b3

c1

c2

c3

Зауважимо, що якщо вектори a, b, c некомпланарні, то a1  a2 a3

b1 b2 b3 І матриця переходу від базису e 1, e2, e3 до базису a, c1  c2 c3

b, c. Отже, якщо базис a, b, c задає додатну орієнтацію, то (a, b, c) > 0, від'ємну (a, b, c) < 0. Обернене також істинне.

 

1)   Вправа. Довести, що х Ь, с) = (a,b х с);

2)   (a, b, с) = (с, а, Ь) = (Ь, с, а) = —(Ь, а, с) = — (с, Ь, а) = —(а, с, Ь).

 

1.7.4   Геометричний зміст змішаного добутку.

За означенням

 

х Ь, с} = (а, Ь, с) =х Ь||с| cosy,

де = ((а х Ь)"с).


Розглянемо паралелепіпед, що натягнений на вектори а, Ь, с (рис.41). Площа основи паралелепіпеда S =х Ь|, а висота if = |c||cosy|. Звідси об'єм паралелепіпеда, натягненого на вектори а, Ь, с, дорівнює V = \{abc)\.

Зауважимо, що (а, Ь, с) = V, якщо базис а, Ь, с задає додатну орієн­тацію простору; (а,Ъ, с) = —V, коли базис а,Ь, с задає від'ємну орієн­тацію простору.

Нагадаємо, що рівність нулю скалярного добутку є критерій ортого-нальності двох векторів. Рівність нулю векторного добутку критерій колінеарності векторів. Рівність нулю змішаного добутку трьох векторів є необхідною і достатньою умовою компланарності цих векторів.

 

Зауваження.

1.  Скалярний добуток двох векторів це скаляр. Змішаний добуток трьох векторів це так званий псевдоскаляр, оскільки змішаний добуток залежить від орієнтації простору.

2.  Векторний добуток це бівектор.

Дві пари векторів (а, 6), (с, d) називаються еквівалентними, якщо вони задають одну і ту ж площину, однакову орієнтацію на ній ірівні площі паралелограмів, що натягнені на вектори a, b i c, d. Відповідні класи еквівалентності називаються бівекторами. Біве-ктори в тривимірному просторі утворюють тривимірний простір, що дає нам можливість ставити у відповідність кожному бівектору вектор.

3. Змішаний добуток (a, b, c) це тривектор.

Точніше, трійки векторів a, b, c і ai, bi, ci еквівалентні, коли вони задають одну і ту ж орієнтацію простору і мають рівні об'єми від­повідних паралелепіпедів. Сукупність еквівалентних трійок векто­рів утворює клас еквівалентності, який називається тривектором. Тривектори в тривимірному просторі утворюють одновимірний лі­нійний простір (кожній трійці векторів ставиться у взаємну одно­значну відповідність число). Тривектори в 4-вимірному просторі утворюють 4-вимірний простір (кожній трійці векторів ставиться у відповідність вектор по аналогії із векторним добутком в триви­мірному просторі).

Геометричні застосування змішаного добутку.

1. Розглянемо плоский трикутник, заданий координатами своїх вер­шин у деякій прямокутній системі координат:

 

Ai(xi, X2),A2(yi,y2),A3(Zi,Z2),

SaA!A2A3 = 1 |AiA2 X AiАэ| ; AiA2 = (yi - Xi,y2 - X2),     AiA3 = (Zi - Xi, Z2 - X2)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія