О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 17

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

 

2           Zi - Xi    Z2 - X2

Знайдемо площу AAiA2A3 використовуючи змішаний добуток. Пе­ренесемо паралельно AAiA2A3, так, щоб він лежав у площині z = 1. Тоді Ai(Xi,X2,1), A2(yi,y2,1), A3(zi,Z2,1). Користуючись відомою формулою для обчислення об'єму Vt тетраедра, Vt = ^Sh, де S площа основи (в даному випадку S площа AAiA2A3), а h ви­сота (в даному випадку h = 1), маємо Vt = -gS. Звідси одержуємо формулу для обчислення об'єму Vp паралелепіпеда, натягнутого на вектори OAi,   OA2, OA3,

 

Vp = 6Vt = 2S.Оскільки Vp обчислюється i за допомогою змішаного добутку:

 

Vp = (OAl,OM,OM

 

тоSAA1A2A3


abs


xi x2 1 yi   У2 1

Zi     Z2 1


(1.12)2. Розглянемо тетраедр, радiус-вектори вершин якого є ri, r2, r3, r4. Тоді r2 — ri, r3 — ri, r4 — r 1 вектори, що задають ребра тетраедра. Об'єм Vt тетраедра, враховуючи сказане вище, обчислюється за формулою

Vt

 

Вправи.

 

1. Довести, що(a, b, c)2


a, a

b,a

c,a

 

a,b

b,b

c,b

 

a,c

b,c

c2. Знайти формулу для обчислення об'єму тетраедра, заданого коор­динатами своїх вершин, аналогічну формулі (1.12).

 

1.7.5   Основні формули сферичної тригонометрії.

Розглянемо сферу одиничного радіуса із центром в точці O. Нехай A,B,C довільні точки сфери; ri, r2, r3 їх радіус-вектори; a, f3,j довжини дуг BA, CA, AB, відповідно, (кожна з дуг висікається на сфері площиною, що проходить через точку O і кінці дуги) (рис. 42). Кутом між дугами великих кіл на сфері будемо називати кут між їх довжинами. Тоді \r 1 х r2\ = siny, \ri х r3\ = sin f; вектор ri x r2 перпендикулярний до площини OAB, вектор r 1 x r3 перпендикулярний до площини OAC. Тому

(ri x r2, ri x r3 ) = sin y sin f cos A,

де A внутрішній кут сферичного трикутника ABC. З іншого боку, за формулою Лапласа(r 1 x r 2, r 1 x r 3) = \r i\2( r 2, r 3) (r 1, r 2) (r 1, r 3 >


= cos a


cos y cos f.Порівнюючи дві останні формули, ми одержимо теорему косинусів сферичної тригонометрії:

 

cos a = cos f cos y + sin f sin y cos A.

 

За формулою (1.11)

 

(ri x r2) x (ri x r3) = ri ri x r2, rr3 ri x r2, ri .

 

Використовуючи властивості змішаного добутку, одержимо

 

(ri x r2) x (ri x r3) = ri(rir2r3).

Тому \ (rixr2)x(rixr3)\ = \ (rir2r3)\. З іншого боку, \ (rixr2)x(rixr3)\ = = sin y sin f sin A. Порівнюючи дві останні рівності, одержуємо

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія