О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 19

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

a = (Cbyla.1.8.2   Поняття коваріантних та контраваріантних коорди­нат вектора.

Вектор у просторі можна визначити як впорядкований набір трьох чи­сел, який при переході до нової системи координат змінюється по закону (1.17). Зауважимо, що векторний добуток має інший закон перетворення при переході до нової системи координат.

Розглянемо поряд з базисом еі,е2,ез дуальний (взаємний) базис, вектори якого

1       е2 X Є3    2      е3 X Єї     з      Єї х е2

е =--------------- е =-----------       е =-----------

(еіе2е3)'               (еіе2е3)' (еіе2е3)

перепендикулярні до площин тригранного кута з ребрами, що напрям­лені по векторах еі, е2, ез. Базис е1, е2, е3 задає ту ж орієнтацію, що і Єї, ег, ез. Зауважимо, що коли базис Єї, ег, ез ортонормований, то ег співпадають з єі = 1,2,3).

Довільний вектор а можна розкласти як по базису Єї, е2, ез: а = = агЄі, так і по базису е1, е2, е3: а = сцег, = 1,2,3). З'ясуємо геоме­тричний зміст сц = 1, 2, 3). Зауважимо, що (ег, е^- ) = 5*. Дійсно,

 

{е\еі) = (   62 Х 63     еі> = 1,   (е1,е2) = (, 62 Х 63 v е2> = 0,

 

аналогічно для інших значень індексів.


Будемо вважати, що вектори в\, е2, ез одиничні. Розглянемо скаляр­ний добуток (а, е\ ) = (аіе1 + а2е2 + азе3, е\ ) = аі. Оскільки еіодиничний вектор, а1 величина ортогональної проекції вектора а на вісь, що має напрям вектора е\ (рис. 43).

Числа а1, а2, а3 називаються контраваріантними координатами век­тора а; числа аі,а2,аз називаються коваріантними координатами век­тора а.Коваріантні координати вектора можна визначити після введення в лінійному просторі операції скалярного добутку.

Знайдемо зв'язок між коваріантними і контраваріантними координа­тами одного і того ж вектора:

ak = гє i, e к) = al( e ь e к) + a2( e 2, e k) + a3( e 3, e k ).

Позначимо (e г, e j } через gij, очевидно, що gij = gji. Тоді

ak = gik a1 + g2k a2 + дзк a3.

Таким чином, шуканий зв'язок задається формулою ak = gikai. Не­хай a, b довільні вектори: a = aieг, b = bjej;

 

(a, b > = (aVг, bjej > = a%(eг, ej > = aibj6j = a%. (1.18)

Розглянемо, чим відрізняється ко- і контраваріантні координати век­тора. При переході до нового базису контраваріантні координати зміню­ються за формулою (1.17). Коваріантні змінюються за іншим законом. Знайдемо його. Із формул (1.18) випливає, що

 

(a, b > = akbk = ЪгЪг. (1.19)

За формулами перетворення контраваріантних координат вектора (1.17):

bk = ^Ьг. (1.20)

Підставимо вираз (1.20) у формулу (1.19):

(ak ck )Ьг = 7ф\

Звідси з огляду на довільність вектора b одержимо формули пере­творення коваріантних координат вектора аг = ck ak.

 

1.8.3   Перетворення координат вектора при переході від ортонормованного до ортонормованного базисів.

Зупинимося більш докладно на випадку, коли базиси e1, e2, e3 і Єї, Є2, ез, ортонормовані, тобто виконуються умови:\ 1   i = j

де 6^ = < 0 . = . цьому випадку на коефіцієнти матриці C накла­даються умови:

(c\)2 + {ci)2 + (c\)2 = 1, (c\)2 + (c2)2 + (c3)2 = 1, (c3)2 + (c2)2 + (c3)2 = 1, оскільки і!Єг, ег } = 1,   i = 1, 2, 3;

c\c2 + c2c2 + c?c3 = 0, c\c3 + c\c2 + c3c3 = 0, c2c\ + c2>c3 + c2c3 = с0,

оскільки іг,      = 0,   i = j,    i = 1, 2, 3.

В матричному вигляді ці умови записуються так: CC* = E, де Eодинична матриця. Матриця C, що задовольняє рівностям CC * = C*C = = E, називається ортогональною.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія