О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

 

AB + BC = AC (1.1)

 

Вкажемо спосіб, за допомогою якого положення точок на довільно вибраній прямій можна визначити заданням чисел. Нехай дана довільна пряма. Відмітимо на ній яку-небудь точку O і оберемо додатний напрям та одиницю довжини (тим самим перетворимо пряму у вісь).Декартовою координатою точки M на осі називається число x, що дорівнює величині напрямленого відрізка OM. Точка O називається по­чатком координат. Запис M(x) означає, що точка M має координату x.

Твердження 1.1.1. Для будь-яких двох точок M1(x1) та M2(x2) де­якої осі справедлива рiвнiсть M1M2 = x2 x\.

Доведення. На підставі тотожності (1.1) M1M2 = OM2 OM\, звід­ки M1M2 = x2 xi, що й потрібно довести.

 

Твердження 1.1.2. Якщо M1(x1) i M2(x2) довільні точки осі, то вiдстань між ними IM1M2I = lx2 xi|.

Доведення. Згідно з попереднім твердженням Mi M2 = x2 — xi , але відстань між точками Mi, M2 є модуль величини напрямленого відрізка M1M2, отже IM1M2I = lx2 x1|.

Якщо на прямій введена координатна система, то кожна точка цієї прямої має одну певну координату; навпаки, яке б дійсне число x ми не взяли, на прямій завжди знайдеться одна цілком визначена точка з координатою x.

Якщо вказано спосіб, що дозволяє визначити положення точок пло­щини заданням впорядкованних наборів з двох дійсних чисел, то кажуть, що на площині введено систему координат. Розглянемо найпростішу і найбільш вживану систему координат, яка називається декартовою пря­мокутною.

Декартова прямокутна система координат визначається заданням двох взаємно перпендикулярних осей із спільним масштабом, що зану­меровані в певному порядку. Точка перетину осей називається початком координат, а самі вісі — координатними осями, причому першу з них називають віссю абсцис, а другу віссю ординат.

Позначимо початок координат буквою O, а вісь абсцис — буквами Ox, вісь ординат буквами Oy. Нехай M довільна точка площини. Опустимо з точки M перпендикуляри на координатні вісі. Основи цих перпендикулярів позначимо через Mx та My (рис. 1).

Координатами точки M в заданій системі координат називаються числа x = OMx, y = OMy, де OMx величина напрямленого відрізка OMx осі абсцис; OMy величина напрямленого відрізка OMy осі ор­динат. Число x називається першою координатою, або абсцисою точки1.1. ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ
Рисі

 

М, число у називається другою координатою, або ординатою точки М. Запис М(х, у) означає, що точка М має абсцису х і ординату у.

Якщо задана система декартових прямокутних координат, то кожна точка площини в цій системі має одну цілком визначену пару координат (х, у). Навпаки, які б не були два дійсні числа х, у, на площині знайдеться одна цілком визначена точка, абсцисою якої в даній системі є ж, а орди­натою - у. Щоб побудувати точку по її координатах (х,у), потрібно на осі абсцис відкласти від початку координат напрямлений відрізок ОМх, величина якого дорівнює х, а на осі ординат напрямлений відрізок ОМу, величина якого дорівнює у, провести через Мх пряму, паралельну осі у, через Му пряму, паралельну осі х, і знайти точку М як точку перетину проведених прямих.

Дві координатні осі разом розділяють площину на чотири частини, які називаються координатними четвертями, або квадрантами, і ну­мерують за певним правилом, яке показано на рис. 2.

Нехай М деяка точка з координатами (х,у). Якщо

х > 0, у > 0, то М лежить в першому квадранті;

х < 0, у > 0, то М лежить в другому квадранті;

х < 0, у < 0, то М лежить в третьому квадранті;

х > 0, у < 0, то М лежить в четвертому квадранті.

Коли вказано спосіб, що дозволяє визначити положення точок про­стору заданиям впорядкованих наборів з трьох дійсних чисел, то кажуть, що в просторі введено систему координат.

Декартова прямокутна система координат в просторі визначається заданиям трьох взаємно перпендикулярних осей із спільним масштабом, занумерованих в якому-небудь порядку.

Точка перетину осей називається початком координат, а самі вісікоординатними осями, причому перша з них називається віссю абсцис, друга віссю ординат, третя віссю аплікат. Початок координат по­значимо буквою О, вісь абсцис буквами Ох, вісь ординат буквами Оу, вісь аплікат буквами Oz. Нехай М довільна точка простору; Мх, Му, Mz основи перпендикулярів, що опущені з точки М на осі Ох, Оу, Oz, відповідно (рис. 3).

Координатами точки М в заданій системі називаються числа х = = ОМх, у = ОМу, z = OMz, де ОМх величина напрямленого відрізка ОМх осі абсцис; ОМу величина напрямленого відрізка ОМу осі орди­нат і OMz величина напрямленого відрізка OMz осі аплікат. Число х називається першою координатою, або абсцисою точки М, у другою координатою, або ординатою точки М, z —третьою координатою, або аплікатою точки М. Запис M(x,y,z) означає, що точка М має абсци­су х, ординату у та аплікату z.

 

t z

 

Якщо задана система декартових прямокутних координат, то кожна точка простору в цій системі має одну цілком визначену впорядковану трійку координат (х, у, z). Навпаки, які б не були три дійсні числа х, у, z, в просторі знайдеться одна цілком визначена точка, абсцисою якої є х, ординатою у, аплікатою z. Щоб побудувати точку М по її коорди­натах (x,y,z), потрібно на осі абсцис відкласти від початку координат напрямлений відрізок ОМх, величина якого дорівнює х, на осі ординат відрізок ОМу, величина якого дорівнює у, на осі аплікат відрізок OMz, величина якого дорівнює z, провести через Мх площину, що пер­пендикулярна до осі Ох, через Му площину, що перпендикулярна до осі Оу, через Mz площину, що перпендикулярна до осі Oz, і знайти точку М як точку перетину проведених площин.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія