О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 20

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Розглянемо двовимірний випадок. Нехай e \, e 2 і Є\, Є2 ортонор-мовані базиси;


C матриця переходу від e\, e2 до е\, е2,

Тоді (c\)2 + (c2)2 = 1, (c\)2 + (c2)2 = 1, c\c2 + c\c2 = 0, тобто чотири коефіцієнти матриці C зв'язані трьома рівняннями.

Нехай ф = (e\" e\). Коефіцієнти c\, c2 це координати вектора e\ в базисі e\, e2, тому c\ = cosф, c\ = sinф (рис. 44).

Коефіцієнти c2, c2 можна знайти із системи рівнянь c2 cos ф+c2 sin ф = 0,

(c2)2 + (c2)2 = 1.

Система має два розв'язки:

1) c2 = sin ф, c2 = cos ф;    2) c2 = sin ф, c2, = cos ф.

У першому випадку базис е\, е2, задає ту ж орієнтацію, що базис e \ , e 2 , у другому — протилежну. Справді, у першому випадку

cos ф   sin ф
C =        .                 ) ,   det C = 1 > 0,

sin ф  cos ф

у другому випадку

cos ф    sin ф sin ф   — cos ф

Нехай на площині задано вектор a. Тоді відносно базису e\, e2 век­тор a = a\e\ + a2e2, а відносно е\, е2 вектор a = a\e\ + Є2е2.Нехай матриця переходу від базису e \, e 2 до базису є\ , є2C=


cos ф sin ф sin ф  cos фі перехід від нових координат (іг до
Розв'язавши цю систему рівнянь відносно a1, a2 одержимо формули

переходу від старих координат до нових:

a\ = cos фa\ + sin фa2 а2 = — sin фa\ + cos фa2.

 

1.8.4   Перетворення координат точок при переході до но-

вої системи координат.

Нехай на площині задано дві косокутні системи координат і де­яка точка P, координати якої дорівнюють в старій системі координат (x\,x2), в новій (Є\, Є2) (рис. 45). З'ясуємо, як зв'язані між собою старі і нові координати точки:

 

OP = x\e \ + x2e 2;   OP = Є\ е\ + Є2е2;   OP = OO + (DP. (1.21)

 

Нехай в системі координат x\Ox2 буде 0(bl,b2), або OO = b\e\ + b2e2 і е\ = c\e\ + c2e2, е2 = c2e\ + 2. Підставляючи знайдені вирази у формулу (1.21), одержимо

 

x\e \ + x2e 2 = b\e \ + b2e 2 + e\(c\e \ + c\e 2) + e2(c2e \ + c2 e 2),

де cj коефіцієнти матриці C, причому det C = 0. Звідси шукані фор-

мули мають вигляд

x c\x + c\x + b , x2 = c2x\ + c2x2 + b2. Самостійно записати аналогічні формули для тривимірного просто-

ру.Розглянемо окремий випадок, коли старий і новий базиси ортонормо-вані. Тоді, якщо обидва базиси задають одну і ту ж орієнтацію площини, буде

= cos X2 sin + Ь1,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія