О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 21

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

х2 = sin ір + х2 cos ір + Ь2. (1.22) Якщо базиси задають протилежну орієнтацію, то

= cos + X2 sin + Ь1,

 

ж2 = sin у ж2 cos у + Ь2.

Запишемо формули переходу від старих координат до нових у ви­падку, коли базиси задають однакову орієнтацію. Для цього досить в рівняннях (1.22) замінити ір на —tp (при умові, що Ь1 і Ь2 перенесені в ліві частини рівностей):

= (ж1 6і) cos + (х2 b2) sin (р;

 

х2 = —(ж1 6і) sin + (ж2 b2) cos (p.

Заміна на —<р зв'язана з тим, що ми міняємо місцями стару і нову системи координат і тепер найменший оберт від першого вектора старої системи координат до першого вектора нової системи координат буде на кут —ір.Розділ 2

 

Прямі i площини

 

 

 

2.1   Рівняння прямої i площини.

При вивченні прямих i площин ми будемо виходити із аналогії між прямою на площині і площиною в просторі.

Нехай задано пряму в просторі. Одержимо ії рівняння. Нехай a напрямний вектор прямої (тобто ненульовий вектор, що паралельний прямій), r радіус-вектор довільної точки Р прямої, rо радіус-вектор деякої фіксованої точки Ро, що лежить на прямій (рис. 46). Тоді вектори r r0 і a колінеарні, тобто r r0 = ta, t Є R, причому якщо точка Р пробігає всі точки прямої, то параметр t приймає всі можливі значення (—оо <t< +оо), і навпаки. Рівняння

r = r0 + ta,    —оо <t< +ос, (2.1)

називається параметричним рівнянням прямої.

Запишемо його в координатному вигляді. Нехай

r о = оо ,zo),    a = (a1 ,a2,a3),   r = (x,y,z). Тоді (2.1) покоординатно записується у вигляді

x = хо + a11,

У = Уо + a2t, (2.2) z = zo + a3t.

Рівняння (2.2) називаються параметричними рівняннями прямої. Такий же вигляд мають рівняння прямої і в косокутній системі коорди­нат, оскільки ми при доведенні ніде не використовували прямокутність системи координат.2.1.1   Механічний зміст прямої.

Якщо в початковий момент часу матеріальна точка має швидкість и і на неї не діє сила, то точка рухається рівномірно і прямолінійно.

Оскільки вектори r rо і a колінеарні, то їх координати пропорційні, тобто

x хо _ y уо _ z Zo                                (2 3)

1        =            2       = 3      (2.3)

ai             a2 a3

Рівності (2.3) називаються рівняннями прямої в канонічному вигля­ді. Це символічний запис, якщо деякі аг обертаються на нуль. Якщо де­які аг дорівнюють нулю, то рівняння (2.3) утрачають зміст і їх потрібно розуміти символічно, точніше, запис x~oXi означає х = хг і т.п.

Рівняння (2.3) можна переписати так:

{

x-xq = y—yo
y—yo
= Z—ZQ
a2           a3
'

Нехай ri, r2 радіус-вектори двох різних фіксованих точок, що лежать на прямій; тоді a = rо ri напрямний вектор прямої. Рівнян­ня (2.1) приймає вигляд

r = r i + t(r 2 r i )■

Одержане рівняння називається рівнянням прямої, що проходить через двi точки.

Якщо r 1 = (xi,yi,Zi), r2 = (X2,y2,Z2), то a =о Хіо yi,Z2 Zi),

і рівняння прямої, що проходить через дві точки, можна записати так:

xxi = yyi = ZZi                                          (2 4)

 

Розглянемо випадок площини, на якій задано прямокутну декартову систему координат.

Тоді x—tq = yyo рівняння прямої в канонічному вигляді на пло­щині.

При ai = 0 із цього рівняння випливає, що

a2 a2

у Уо = ї Хо),    —г =tg ф, ai ai

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія