О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 22

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

де ф кут, який утворює пряма з додатним напрямом осі Ох, 0 ^ ф ^ п (рис. 47).

Вправа. Записати рівняння прямої на площині, що відтинає на осях координат відрізки, які мають величини a = 0 і b = 0. Воно називається рiвнянням прямої у вiдрiзках на осях.
2.1.2   Загальне рівняння площини у просторі і прямої на площині.

Розглянемо площину в просторі (пряму на площині), в якому зада­на прямокутна декартова система координат. Нехай г радіус-вектор довільної точки площини (прямої на площині), го радіус-вектор де­якої фіксованої точки площини (прямої на площині), п напрямний вектор прямої, яка перпендикулярна до площини (до прямої на площи­ні) (рис. 48). Ця пряма називається нормаллю, а вектор п вектором нормалі або нормальним вектором.
Оскільки вектор г Го належить площині (прямій), то г Го пер­пендикулярний до п, і тому

 

(2.5)

Одержане рівняння є рівнянням площини в просторі (прямої на пло­щині).

 

1. Розглянемо випадок простору.Нехай r0 = (x0,y0,z0), n = (n1,n2,n3), r = (x,y,z). Тоді рівнян­ня (2.5) набуде вигляду

nl(x - хо) + n2(y - уо) + n3(z - zo) = 0,

або, якщо ввести позначення c = —n1x0 n2y0 n3z0,

n1x + n2y + n3z + c = 0. (2.6)

 

Рівняння (2.6) називається загальним рівнянням площини у про­сторі.

2. Розглянемо випадок площини.

Нехай r0 = (x0,y0), n = (n1,n2), r = (x,y). Тоді рівняння (2.5) набуде вигляду

nl(x - x0) + n2(y - y0) = 0, або, якщо ввести позначення c = -n1x0 - n2y0,

nlx + n2y + c = 0 (2.7)

 

Рівняння (2.7) називається загальним рівнянням прямої на пло­щині.

Таким чином, ми показали, що кожна площина в просторі (кожна пряма на площині) має рівняння вигляду

 

ax + by + cz + d = 0   (ax + by + c = 0),

де a, b, c, d сталі.

Доведемо обернене твердження:

кожне рівняння вигляду ax + by + cz + d = 0, a2 + b2 + c2 = 0 (ax + by + c = 0, a2 + b2 = 0), є рiвняння деякої площини в просторi (прямої на площит).

Доведення.

Розглянемо випадок простору.

Нехай є рівняння ax + by + cz + d = 0 і a2 + b2 + c2 = 0. Нехай x0, y0, z0 який-небудь розв'язок цього рівняння: ax0 + by0 + cz0 + d = 0. За допо­могою останнього співвідношення наше рівняння можливо перетворити так: ax+by + cz - ax0 - by0 - cz0 = 0, або a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0. Останнє рівняння являє собою рівняння площини, що проходить через точку P0(x0,y0, z0) перпендикулярно до вектора n = (a, b, c).Отже, ми довели, що рівняння вигляду ах + by + cz + d = 0, де а2 + 62 + с2 ф 0, є рівняння деякої площини, а коефіцієнти а, b, с являють собою координати вектора, що перпендикулярний до площини.

Замітимо, що і в косокутній системі координат рівняння площини у просторі (прямої на площині) буде також лінійним. Це зразу випливає з того, що координати точок в різних декартових системах координат зв'язані лінійними залежностями.

Розглянемо лінійну функцію трьох змінних: f(x, у, z) = ах + by + cz. Тоді площина множина точок, на яких функція / приймає деяке ста­ле значення h. Множина точок простору {(x,y,z) : ах + by + cz = h} називається поверхнею рівня функції /.


Аналогічно пряма на площині це лінія рівня лінійної функції двох змінних /(ж, у) = ах + by.

2.1.3   Параметричне рівняння площини.

Нехай задано деяку площину в просторі. Нехай г о радіус-вектор деякої фіксованої точки Рсь що належить площині; г радіус-вектор довільної точки Р площини; a, b неколінеарні вектори, що лежать у площині (рис. 49). Тоді вектори a, b утворюють базис площини, а вектор г Го лежить в площині, тому г Го = ua + vb. Якщо точка Р пробігає всі точки площини, то параметри u, v приймають всі можливі значення (—оо < и < оо, оо < v < оо), і навпаки.

Рівняння г = го + иа + vb, де оо < и < оо, оо < v < оо, нази­вається параметричним рівнянням площини.

Нехай в просторі задано прямокутну декартову систему координат.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія