О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 23

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Якщо г = (x,y,z), г0 = (ж0,Уо,<го), а = (a1, a2, a3), b = (bl,b2,b3), тоостаннє рівняння можна записати в координатному вигляді:

x = x0 + ua1 + ub1, У = Уо + ua2 + ub2, z = z0 + ua3 + ub3.

Запишемо рівняння цієї ж площини у векторному вигляді. Вектор a х b являє собою нормальний вектор площини. Отже,r


r0, a х b ) = 0, тобто   (r r0, a, b) рівняння площини, що проходить через точку Ро і яка паралельна не-колінеарним векторам a, b координатному вигляді останнє рівняння записується так:x


z


Z0a1 b1 a2

b2


b32.1.4   Рівняння площини, що проходить через три точки.

Нехай задано площину в просторі, в якому введено прямокутну де-картову систему координат. Нехай точки Pi, Р2, Рз належать площині і не лежать на одній прямій, rі = (xi,yi,Zi) радіус-вектор точки Р^, i = 1, 2, 3. Тоді вектори r2 r 1 і r3 r 1 лежать в одній площині і не­колінеарні. Позначимо через r = (х, у, z) радіус-вектор довільної точки площини. Тоді її рівняння можна записати так:

(r r1, r2 r1, r3 r1) = 0.

Це рівняння площини, що проходить через три точки.

В координатному вигляді це рівняння записуєтся наступним чином:X Х1      у У1      Z Z1

 

x3 x1 У3 У1 z3 z1


2.1.5   Загальне рівняння прямої в просторі.

Нехай в просторі задано пряму. Проведемо через неї дві різні площи­ни: a1x + Ь1У + c1Z + d1 = 0, a2x + Ь2У + c2Z + d2 = 0. Тоді рівняння прямої записується у вигляді:a1x + Ь1У + c1 z + d1 = 0, + Ь2У + C2 z + d2 = 0.


(2.8)Навпаки, система (2.8) задає деяку пряму в просторі, коли нормальні вектори площин n1 = (a1,b1,c1) i n2 = (a2,b2,c2) неколінеарні, тобто n і x n 2 = 0.

Система рівнянь (2.8) називається загальними рівняннями прямої в просторі.

Розглянемо перехід від канонічних рівнянь прямої в просторі до за­гальних:

x - Хо = y - yo = z - Zo
m1             m2 m3

канонічні рівняння.

їх можна розглядати як систему двох лінійних рівнянь:

x—xo = y-yo

 

x—xo

rn3Одержана система рівняння прямої в загальному вигляді. Площини, що задають пряму, паралельні осям координат: перша площина пара­лельна осі Oz, друга осі Oy.

Розглянемо перехід від рівнянь прямої у загальному вигляді до ка­нонічних рівнянь.

Нехай

( aix + biy + ciz + di =0,                             (2 g)

 

загальні рівняння прямої, nі x n2 = 0. Щоб записати канонічне рівняння прямої, потрібно знати координати точки, що лежить на пря­мій, і напрямний вектор прямої.

наприклад,

= 0, то, поклавши в (2.9) z

0, знайдемо x1,y1, точка,

Напрямний вектор ми знаємо: m = nі x n2. Координати точки, що лежить на прямій, знайдемо, розв'язавши систему рівнянь (2.9). Якщо, a1 b1

 

що являють собою розв'язок системи (2.9), і точка (x1,y1, 0) що лежить на прямій.Приклад. Нехай загальні рівняння прямої є x = 0,y шемо рівняння цієї ж прямої в канонічному вигляді:


1


0. Запи-n1


(1, 0, 0),


n2


(0, 1, 0),   m = n1 x n2 =


i  j к

100 0 1 0


к.Точка M(0,1, 0) лежить на прямій.
x = 0,

У = 1, z = t.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія