О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 24

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

параметричні рівняння прямої.

 

2.2   Відстань від точки до прямої i площини. Від­стань між прямими.

 

Визначення 2.2.1. Відстанню від точки до площини (прямої) нази-

вається довжина перпендикуляра, опущеного із даної точки на площину

(пряму).

 

2.2.1   Відстань від точки до площини (прямої на площи-

ні).

Нехай у просторі задано площину n1x + n2y + n3z + c = 0 (на площині пряму n1x + n2y + c = 0).

рівняння тієї ж площини (прямої) у векторному вигляді, де r = (x,y,z),  ro = (xo,yo,zo),  n = (nl,n2,n3),

 

або r = (x,y),  ro = (xo,yo),  n = (ni,n2).

Нехай Pi(xi, yi, zi) — деяка точка простору ( Pi(xi, yi) точка пло­щини ); ri радіус-вектор точки Pi (рис. 50). Нехай нормаль n одинична: \n| = 1. Тоді

 

\PiP\ = \ri ro\\ cosф\ = \(ri ro, n )\

(де ф кут між векторами ri ro і n). Якщо нормаль напрямлена в той же півпростір, в якому лежить точка Pi, то cosф > 0; якщо в протилежний, то cos ф <
Таким чином, відстань від точки до площини (прямої)

d = |(п - г0, п )|,

якщо \п\ = 1.

d =

г)

Якщо в рівнянні площини (прямої) (гі Го,та) = 0 нормаль п не одинична, то

п

го,Для точок півпростору, в який напрямлена нормаль, h = {г\ Го, щ) > 0; для другого півпростору h < 0; h називається відхиленням точки Р\ від площини (прямої), заданої рівнянням (г Го, п) = 0.

Повернемося до координатного запису. Відстань d від точки Р\(х\, у\, z\) до площини nlx + п2у + n3z + с = 0 дорівнює

 

 

^(n1)2 + (n2)2 + (n3)2

Аналогічно відстань від точки Р\(х\, у\) до прямої nlx + п2у + с = 0 на площині

п1Х\ + n2yi + с

^(п1)2 + (п2)2

Приклад. Знайти відхилення початку координат О від площини х + у + z1 = 0 і відстань від О до цієї площини.

Розв'язування. Початок координат 0(0,0,0), відхиленняh =


xi+yi + zi-1


1


<0,відстаньd =


V3

,х\ +уі + Z\ - 1 1

V3'Нехай n1x + n2y + h = 0 — загальне рівняння прямої на площині, причому (n1)2 + (n2)2 = 1. Тоді n1 = cosф, n2 = sinф (рис. 51). Напря­мимо нормаль у ту півплощину, де не лежить початок координат. Тоді відхилення h початку координат від прямої від'ємне. Позначимо через d відстань від початку координат до прямої, d = —h.

Рівняння x cos ф + y sin ф = d називається нормальним рівнянням прямої.

Розглянемо площину n1x+n2y+n3 z+h = 0, де (n1)2+(n2)2+(n3)2 = 1. Якщо нормаль напрямлена у півпростір, що не має в собі початку ко­ординат, то відхилення початку координат О(0, 0, 0) від площини h < 0. Позначимо через d відстань від точки 0(0, 0, 0) до площини, d = h, d > 0. Якщо ф1, ф2, ф3 кути, які утворює нормаль відповідно з осями 0x, 0y, 0z, то n1 = cos ф1 , n2 = cos ф2, n3 = cos ф3. Рівнян­ня x cos ф1 + y cos ф2 + z cos ф3 = d називається нормальним рівнянням площини.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія