О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 25

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Зауваження. Щоб знайти відстань між паралельними площинами (прямими), потрiбно взяти довільну точку однієї площини (прямої) i знайти її вiдстань до другої площини (прямої).

2.2.2       Відстань від точки до прямої в просторі.

Нехай у просторі задано пряму з напрямним вектором a і точку P1 з радіус-вектором r 1 (рис. 52). Знайдемо відстань d від точки P1 до прямої. Нехай Po деяка точка на прямій, r0 радіус-вектор точки P0. Площа паралелограма, натягненого на вектори r 1 r0, a дорівнює \a\ d = |(r 1 r0) х a\ (рис. 52). Звідси

d = \(r 1 ro) х a\ |a|

2.2.3       Відстань між мимобіжними прямими.

Мимобiжними називаються прямі, які не паралельні і не перетина­ються.

Ыдстанню d між мимобiжними прямими l1 і l2 називається

d =     inf \PQ\

 

Зауваження. Відстань між двома множинами не завжди досягається. Якщо точка P належить гіперболі, а точка Q асимптоті, то inf \PQ\ = 0, але не існує точок, де ця відстань досягається.

оПовернемося до мимобіжних прямих її, І2- Нехай Рі Є її, Р2 Є 12. Через точку Рі проведемо пряму 12, паралельну прямій 12. Через прямі її, 12 проведемо площину 7Гі. Через точку Р2 проведемо пряму 1[, пара­лельну прямій її, а через прямі 12, 1[ площину тт2. Площини тті і тт2 паралельні (рис. 53). Відстань між цими паралельними площинами тті і 7Г2 є відстань між мимобіжними прямими її, 12.

Через пряму її і нормаль п до площини 7Гі проведемо площину а. Через пряму 12 і нормаль п проведемо площину /3. Площини а і /3 пе­ретинаються по прямій а, яка перетинає пряму її в точці А, пряму 12в точці В. Пряма а перпендикулярна до паралельних площини тті і тт2, отже, пряма а перпендикулярна до прямих її і 12.

Доведемо, що довжина відрізка АВ є відстань між мимобіжними прямими її, 12. Введемо у просторі прямокутну систему координат на­ступним чином. Точку А приймемо за початок координат, вісь х напря­мимо по прямій її, площину 7Гі приймемо за координатну площину ху, додатний напрям осі z задамо вектором АВ. Тоді точки прямої її мають координати (і, 0,0), при t = 0 одержуємо точку А. Точки прямої 12 ма­ють координати (ат,[3т,с), де с = \АВ\, при т = 0 одержимо точку В. Оскільки її, 12 мимобіжні прямі, /3 ф 0.

Відстань між довільними точками прямих її і 12 задовольняє нерів­ності л/(ат і)2 + (/?т)2 + с2 ^ с = \АВ\, причому рівність досягається лише коли ат t = 0, /Зт = 0, тобто коли т = t = 0. Таким чином, відстань між прямими її, 12 досягається в точках А і В.

Нехай г і радіус-вектор точки Рі, г2 радіус-вектор точки Р2, е напрямний вектор прямої її, f напрямний вектор прямої 12. Розгля­немо паралелепіпед натягнутий на вектори r2 г і, е, f (рис. 54).

Об'єм паралелепіпеда можна обчислити двома способами:V = \(r2 - ri, е


/)I, v = sosnh,де Sosn = \е х f\, h = d. Звідси

d= |(r2-rbe,/)| lex/l

Вправа. Записати останню формулу в координатному вигляді.

 

2.2.4   Рівняння загального перпендикуляру двох мимобі­жних прямих.

Загальний перпендикуляр до мимобіжних прямих 1\ і 12 це пряма перетину площин а і /3. Рівняння площини а буде

 

- гь х /) х е > = 0,

 

оскільки xf) хе вектор нормалі до площини а і площина проходить через точку Р\.

Аналогічно рівняння площини fi буде r2,(e х f) х/) = 0. Отже, рівняння загального перпендикуляру до мимобіжних прямих

є

Г (r - n, х /) х е > = 0, \ <г-г2,(е х/) х/> = 0.

За допомогою змішанного добутку ці рівняння можна записати у вигляді

Ґ - п, ех/, е) = 0, \ (г-г2,   ех/,   /) = 2.3   Кути між прямими i площинами.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія