О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 26

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

2.3.1    Кут між прямими. Умови паралельності i перпен­дикулярності прямих.

Нехай у просторі задано дві прямі l\, l2. Перенесемо паралельно прямі li, l2 так, щоб їх образи l[, l2 проходили через початок координат. Кутом ф між прямими l\, l2 називається менший з кутів, що утворені прямими li, l2,   0 < ф < п/2.

Якщо a = (a1,a2,a3), b = (Ь1 ,b2,b3) напрямні вектори прямих


li, і2, то

(a, b) = 0 умова перпендикулярності прямих; a х b = 0 умова паралельності прямих (окремий випадок паралельності — співпадання прямих).

2.3.2       Кут між площинами. Умови паралельності i перпен­дикулярності площин.

Кутом між площинами aix+biy+ciz+di = 0, a2x+b2y+c2z+d2 = 0 називається кут ф між їх нормалями:

КПi, П2 )\

cos ф = п——,

i\\n 2\

де nі = (ai, bi, Ci) (i = 1, 2) напрямний вектор нормалі, (ni, n2) = 0 умова перпендикулярності площин; ni х n2 = 0 умова паралельності площин.

Вправа. Записати умови збіжності площин, заданих рівностями

 

ai x + biy + CiZ + di = 0,   a2x + b2y + C2Z + d2 = 0.

Зауважимо, що коли z = 0, одержимо умову збіжності прямих на пло­щині.

2.3.3       Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини.

Кутом між прямою і площиною називається кут П ф, де ф кут між нормаллю до площини і прямою.Нехай n = (ni,n2,n3) вектор нормалі до площини, a = (ai,a2,a3) напрямний вектор прямої. Кут в між прямою і площиною знаходимо з умови

\ n, a \ \n\\a\

n , a = 0 — умова паралельності прямої і площини(окремий випадок паралельності — пряма лежить в площині); a х n = 0 — умова перпен­дикулярності прямої і площини.

 

2.4   Жмуток прямих (площин). В'язка прямих (пло­щин).

Жмуток прямих на площині сукупність всіх прямих, що проходять через фіксовану точку.

Жмуток площин в просторі сукупність всіх площин, що прохо­дять через фіксовану пряму.

В'язка прямих в просторі сукупність всіх прямих, що проходять через фіксовану точку.

В'язка площин в просторі — сукупність всіх площин, що проходять через фіксовану точку.

Розглянемо жмуток прямих на площині (рис. 55).

Нехай aix + biy + ci = 0, a2x + b2y + c2 = 0 — дві неспівпадаючі прямі жмутка; ni = (ai,bi), n2 = (a2,b2) вектори їх нормалей; P0 — точка перетину прямих. Будь-яка пряма жмутка задається рівнянням

 

Ai(aix + biy + ci) + \2(a2x + b2 y + c2) = 0, (2.10)

 

де

Ai,A2 Є R;   A22 + A2 = 0.

Доведення. Рівняння (2.10) лінійне, отже, це рівняння деякої пря­мої на площині. Координати точки Po задовольняють рівнянню (2.10), тому що вони задовольняють рівнянням aix+biy+ci = 0, a2x+b2y+c2 = 0, отже, пряма (2.10) є пряма жмутка. Покажемо, що рівняння (2.10) задає всі прямі жмутка, коли Ai, A2 пробігають дійсні значення, які одночасно не дорівнюють нулю. Вектор n = Aini + A2n2 вектор нормалі прямої (2.10); вектори ni, n2 утворюють базис площини, отже, кожен вектор площини є лінійна комбінація цих векторів. Якщо Ai, A2 пробігають всі можливі значення, то n пробігає всі вектори площини. Таким чином, рівняння (2.10) задає всі прямі жмутка.2.4. ЖМУТОК І В'ЯЗКА ПРЯМИХ (ПЛОЩИН)


69Жмуток прямих на площині однопараметрична множина прямих.Рис. 56

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія