О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 27

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

 

Приклад. Записати рівняння прямої, що проходить через точку пе­ретину прямих х+у = 1, 2х+3у = 2 перпендикулярно до прямої х+у = 0.

Розв'язування. \\(х + у1) + \2(2х + Зу — 2) = 0 — всі прямі, що проходять через точку перетину прямих х + у = 1, + Зу = 2. Вибе­ремо із цього жмутка пряму, що перпендикулярна до прямої х + у = 0. Умова перпендикулярності (щ, п2 ) = 0, де п\ = (\\ + 2\2, \\ + ЗЛ2), п2 = (1,1). Звідси Лі = — |A2. Після підстановки Лі в рівняння жмутка одержимо шукане рівняння: х у = 1.

Самостійно розглянути жмуток площин в просторі.

Розглянемо в'язку прямих в просторі.

Нехай Pq(xq, уо, Zq) точка, через яку проходять всі прямі в'язки; а = (а1,а2,а3) одиничний напрямний вектор прямої. Тоді система рівнянь
де аг приймають всі можливі значення = 1,2,3), але такі, що

(а1)2 + (а2)2 + (а3)2 = 1задає в'язку прямих в просторі. В'язка прямих в просторі трична множина.

Самостійно розглянути в'язку площин в просторі.


двопараме-Розділ 3

 

Опуклі множини

 

 

 

3.1   Приклади опуклих множин.

Опуклою множиною на площині чи в просторі називається така мно­жина, яка разом з довільними двома різними точками, що належать множині, має в собі відрізок, що їх з'єднує.

 

Приклади.

1.  Відрізок є опукла множина.

2.  Трикутник є опукла множина. Тілесний трикутник фігура, що складається із трикутника i обмеженої ним частини площини.

3.  Чотирикутник може бути опуклим або неопуклим (рис. 56).
Введемо деякі топологічні поняття.

 

Околом точки на площині називається внутрішність кола з центром у цій точці. Околом точки в просторі називається внутрішність кулі із центром у цій точці.

Точка P називається граничною точкою деякої множини M, коли в будь-якому околі цієї точки є як точки, що належать M, так i точки, що M не належать.

Множина, що має в собі всі граничні точки, називається замкненою. Точка називається внутрішньою точкою множини, якщо разом з нею множині належить деякий її окіл.

Множина, всі точки якої суть внутрішні, називається відкритою. Порожня множина вважається відкритою.Далі ми будемо розглядати опуклі множини, які є або відкритими, або замкненими.

 

Приклади.

1.  Розглянемо круг. Точки круга, що не належать колу, яке його обме­жує, є внутрішні точки.

2.  Внутрішність квадрата з двома суміжними вершинами, очевидно, не буде опуклою множиною.

Сукупність граничних точок утворює границю множини. Множина називається обмеженою, коли вона розміщується в деякій кулі досить великого радіуса.

 

Нехай задано дві точки Pi i P2 з радіус-векторами відповідно r і i r2. Рівняння прямої, що проходить через точки Pi, P2

 

r = r 1 + t(r 2 r 1),   —00 <t < +00.

Якщо t = 0, то r = r 1, якщо t = 1, то r = r2. Отже, рівняння відрізка P1P2 буде

r = r 1 + t(r2 r 1),    0 < t < 1. (3.1)

Перепишемо останнє рівняння в більш симетричній формі. Для цього введемо позначення: 1 t = А1, t = Л2. Рівняння (3.1) набуде вигляду

 

r = A1r 1 + 2,

 

де А1, А2 ^ 0 i А1 + А2 = 1.

Якщо в точках P1, P2 розташувати відповідно маси А1, А2, де А1+А2 = 1, то r = А1г 1 + А2г2 радіус-вектор центра мас. Міняючи маси А1,А2, але лишаючи А1 + А2 = 1, одержимо, що центр мас пробігає всі точки відрізка P1P2.

 

Нагадаємо, що для заданної прямої на площині дві точки лежать в одній півплощині тоді і тільки тоді, коли відрізок, що з'єднує ці точки, не перетинає задану пряму.

Доведемо, що півплощина і півпростір є опуклі множини. Пряма на площині (площина в просторі) задається рівнянням (r r0, n ) =0. Півплощину (півпростір) можна задати нерівностями (r r0, n ) ^ 0. Нехай точки P1, P2 з радіус-векторами r 1, r2 належать нашій множині.3.1. ПРИКЛАДИ ОПУКЛИХ МНОЖИН.


73Тоді (r 1 r0, n) ^ 0 і 2 r0, n) ^ 0. Потрібно довести, що кожна точка відрізка p1p2 належить нашій множині, тобто її радіус-вектор задовольняє нерівності (r r0, n) ^ 0.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія