О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 28

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Радіус-вектор довільної точки відрізка P1P2 має вигляд r = А1г 12г2, де а1, а2 ^ 0 і а1 + а2 = 1.

Розглянемо вираз

 

1Г1 + а2Г 2 Г0,  Ті) = 1Г1 + А2Г 2 1 + а20,  n ) =

 

а1<Г1 Г0, n) + а2<Г2 Г0, n)   ^ 0,

це і значить, що точки відрізка лежать на півплощині (на півпросторі).

Перетином множин U1 i U2 (позначається через U^f] U2) називається сукупність точок, що належать множині u1 i множині u2.

Лема 3.1.1. Перетин опуклих множин опукла множина.

Доведення. Нехай v, v2 опуклі множини. Нехай точки P, Q належать множині V1 f) V2, тобто P Є V1 i P Є V2, Q Є V1 i Q Є V2. Тому відрізок PQ належить i v1 i v2, тобто належить перетину.

Із леми 3.1.1 випливає, що множина, координати точок якої задо­вольняють системі нерівностей

є опуклою, оскільки кожна нерівність akx + bky + ckz + dk ^ 0 задає півпростір i множина є перетин цих півпросторів.

 

Приклади.

1.  Пряма, промінь, відрізок це всі опуклі множини на прямій.

2.  Розглянемо всі опуклі множини площини, які задаються системою нерівностей

 

 

1.  (3.2)74
Прямі її, І2, що задані відповідно рівностями а\Х + Ь + С\ = 0, агж + &2У + ег = 0, перетинаються. Розв'язок системи (3.2) тіле­сний кут (рис. 57).

2.  Прямі Іі,І2 паралельні і не збігаються. Тоді можливі три випадки:

а)  розв'язок системи (3.2) пуста множина (рис. 58);

б) розв'язок системи (3.2) півплощина (рис. 59);

в)         розв'язок системи (3.2) полоса (рис. 60).Рис.59


Рис.603. Прямі її, І2 збігаються. Можливі два випадки:

а)  розв'язок системи (3.2) півплощина (рис. 61);

б) розв'язок системи (3.2) пряма (рис. 62).

 

Вправи.

1. Які множини на площині можуть бути розв'язками системи а^ж+бгу+Сі ^ 0, і = 1,2,3?2. Які множини в просторі можуть бути розв'язками системи

 

а%х + hy + az + di ^ О   (г = 1,2; г = 1,2,3; г = 1,2,3,4)?

 

 

Нехай X і Y деякі множини на площині (в просторі).

Околом Us(P) точки Р множини X називається перетин відкритого круга (відкритої кулі) D$(P) радіуса 5 із центром в точці Р з множиною X, тобто US(P) = DS(P) П X.

Відображення / називається неперервним у точці Р, якщо

 

Ує> 0 35>0:f(Us(P))cU£(f(P)).

Відображення, неперервне в кожній точці своєї області визначення, називається неперервним.

Відображення / : X —> Y називається гомеоморфізмом (або топо­логічним), якщо: 1) / — взаємно-однозначне, 2) / і /_1 неперервні відображення.

Вправа. Показати, що відношення гомеоморфності є відношенням еквівалентності.

Приклад. Покажемо, що відкритий інтервал гомеоморфний прямій.

1.  Відкритий інтервал гомеоморфний відкритому півколу. Відобра­ження можна задати, наприклад, так: х = cost, у = sin і (0 < t < тт). Самостійно довести, що виписані формули задають гомеоморфізм.

2.  Відкрите півколо гомеоморфне прямій. Відображення задається так, як показано на рис. 63: f{P) = Q. Самостійно довести, що / — гомеоморфізм.

Оскільки відношення гомеоморфності є транзитивним, то з 1.2. ви­пливає, що відкритий інтервал гомеоморфний прямій.

Рис. 63

 

Вправа. Довести, що внутрішність круга гомеоморфна площині. Вказівка. Відобразити внутрішність круга на відкриту півсферу, по­тім відобразити відкриту півсферу на площину.

Зауваження. В елементарній геометрії рівні фігури це фігури, які суміщаються рухом. У топології множини топологічно еквівалентні, коли вони гомеоморфні. Це (як і будь-яке інше) відношення еквівален­тності визначає розбиття множин, що розглядаються, на класи, що не перетинаються.

Опуклою кривою на площині називається границя опуклої множи­ни, що має внутрішні точки. Опуклою поверхнею називається границя опуклої множини, що має внутрішні точки в просторі.

Зауваження. Границя опуклої множини не завжди є опукла множи­на.

Вправа. Знайти всі різні топологічні типи опуклих кривих на пло­щині, опуклих поверхонь в просторі. Криві, поверхні належать одному топологічному типу, коли вони гомеоморфні між собою.

 

3.2   Опукла оболонка.

Опуклою оболонкою множини М (позначається через convM) нази­вається перетин усіх опуклих множин, що містять в собі М, тобто convM це така опукла множина, яка лежить в будь-якій опуклій множині, що має в собі М.

 

Приклади.

1.  М дві точки А і В; convM відрізок АВ.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія