О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 29

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

М три точки А, В, С, що не лежать на одній прямій; convMтілесний трикутник ABC.3.2. ОПУКЛА ОБОЛОНКА.


3.  77М чотири точки площини, ніякі три з яких не лежать на одній прямій; convM або опуклий тілесний чотирикутник, або тілесний трикутник (рис. 64).

4.  М коло і точка А, що лежить поза колом; convM зображена на рис. 65, де АВ і АС дотичні до кола.

5.  М коло і точки А, В, розташовані в різних півпросторах відно­сно площини, в якій лежить коло; convM два тілесних конуси, що склеєні основами, якщо основи перпендикулярів, що опущені з точок А, В на площину кола, попадають в середину круга (рис. 66).

 

Нехай М опукла множина, А точка. Конусом з вершиною в точці А і основою М (позначається через С(М, А)) називається сукупність всіх відрізків, що з'єднують точку А з точками множини М.

Лема 3.2.1. Якщо М опукла множина, то опукла оболонка множи­ни, що складається з множини М і точки А, є конус С(М,А), тобто

 

conv(M, А) = С(М,А).

Доведення. Конус С(М, А) лежить в опуклій оболонці, оскільки М і А належать опуклій оболонці, а тому відрізки, що з'єднують точку А з точками множини М, також належать опуклій оболонці.

Лишилося показати, що конус С(М, А) опукла множина. Нехай Р, Q довільні точки конуса С(М,А). Значить, Р, Q лежать на відріз­ках, що з'єднують точку А з точками Р, Q множини М (рис. 67). Але множина М опукла, тому відрізок PQ належить М. Відрізки, що з'єд­нують точку А з точками відрізка Р Q, належать конусу С(М, А), отже, тілесний трикутник PAQ належить С(М, А), таким чином, відрізок PQ78належить конусу С(М, А). Оскільки конус С(М, А) опукла множина, він має в собі опуклу оболонку. Таким чином, конус С(М,А) є опукла оболонка.


Нехай на площині або в просторі є скінченна кількість точок А\, А2, ■ ■ ■, А, з радіус-векторами відповідно гі,г2,..., гп. Знайдемо опуклу оболонку цієї множини точок; тобто, знаючи г\, г2, • • •, гп, знайдемо г — радіус-вектор будь-якої точки опуклої оболонки точок А\, А2,..., Ап. Згадаємо, що рівняння відрізка А\А2 є г = \\Г\ + Х2г2, Х\,Х2 ^ 0, Лі + Х2 = 1. Кажучи іншими словами, остання рівність задає радіус-вектор довільної точки опуклої оболонки двох точок А\, А2.

Теорема 3.2.1. Опуклою оболонкою скінченної кількості точок А\, А2,..., Ап буде множина точок, радіус-вектор яких може бути записаний у ви­гляді

г = Лігі + ... + Хпгп, деХі^О,   = 1,...,п), Лі + ... + Хп = 1.

Доведення. Скористаємося методом математичної індукції.

1)  Для п = 2 твердження справедливе, оскільки рівняння відрізка А\А2 опуклої оболонки точок А\, А2, є г = Х\Г\ + X2r2, Х\, Х2 ^ 0, Лі + Л2 = 1.

2)  Припустимо, що твердження правильне для п—1 точок А\, А2,..., Ап-і, тобто

R = /ііп + ... + /Лп-іГп-і (3.3) (ці,. . .,Цп-1 >0, Ці + ... + Цп-1 = 1),

де і? радіус-вектор довільної точки опуклої оболонки точок Аі, А2,..., Ап_і. Доведемо, що твердження правильне для п точок Аі, А2,..., Ап_і, Ап. Нехай conv(Ai,..., Ап_і) = М.За лемою 3.2.3. conv(M, An) = C(M,An). Нехай r радіус-вектор деякої точки конуса. Тоді r = aR + ^rn, а, в ^ 0, а + в = 1. Шдставимо в останню рівність вираз (3.3). Одержимо

 

r = а(ціг і + ... + Цп-\Гп-і) + вги-

 

Позначимо: аці = Хі,..., ацп-і = Хп-і, в = Ап. Тоді

 

r = Xirі + ... + Xnrn,  Xi ^ 0 (i = 1,...,n);

 

Лі + X2 ... + Xn-i = а(ці + .+ Hn-i) + в = а + в = 1.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія