О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 3

Площина, що проходить через прямі Ох, Оу, називається коорди­натною площиною xy. Дві інші площини, що проходять через вісі коор­динат, називаються координатними площинами xz та yz. Три площини xy, xz, yz разом поділяють простір на вісім частин, які називаються координатними октантами.

Зауваження. На прямій, площині i в просторі можна ввести інші системи координат.

Наприклад, на площині косокутна декартова система координат визначається заданням двох осей Ox, Oy із спільним масштабом, що пе­ретинаються в точці O під будь-яким кутом, крім 0° та 180°. Нехай M — довільна точка площини. Проведемо через M прямі, що паралельні осям Ox, Oy, і позначимо точки їх перетину з цими осями відповідно через Mx і My (рис. 4). Координатами точки M в заданій системі називаються числа x = OMx, y = OMy, де OMx — величина напрямленого відрізка OMx осі Ox, OMy — величина напрямленого відрізка OMy осі Oy. Пря­мокутна система координат є окремим випадком косокутної системи.

Аналогічно можна ввести косокутну декартову систему координат в просторі.

В подальшому, коли не сказано інакше, ми будемо розглядати тіль­ки прямокутні декартові системи координат, тому слово «прямокутні» часто будемо пропускати.

1.2   Найпростіші задачі аналітичної геометрії на площині.

1.2.1   Відстань між точками.

Нехай на площині xy (система координат декартова) дані дві точки Ai(xi,yi) і A2(x2,y2). Виразимо відстань між точками Ai, A2 через ко­ординати цих точок. Припустимо, що x1= x2 і yi = y2. Проведемо через точки Ai і A2 прямі, що паралельні осям координат Oy і Ox, відповідно, вони перетнуться в точці A (рис. 5). Тоді

\AiA\ = |y2 - yi|,   \AA2\ = |x2 - xi|.

За теоремою Піфагора

|AiA2| = V(x2 - xi)2 + (y2 - yi)2.

1)  Вправи.Довести, що остання формула справедлива, якщо

1) Хі = Х2,   Уі ф У2]      2) Хі ф Х2,   Уі = У2]      3) Хі = Х2і   Уі = У2-

2)  Довести, що відстань між двома точками А\(х\, у\, Z\), А2(х2,У2, z2) простору, в якому введена декартова система координат, обчислю­ється за формулою

\АіА2\ = л/ІХ2 - хі)2 + (у2 - уі)2 + (z2 - Zi)2.

Знайти відстань між двома точками площини, які задані своїми координатами в косокутній декартовій системі координат.
1.2.2   Поділ відрізка у даному відношенні.

Нехай на площині ху (система координат декартова) є дві різні точки А\(хі,уі) і ^2(^2,2/2)- Знайдемо координати (х,у) точки А, що ділить відрізок А1А2 у відношенні Л2 : Лі.

Нехай відрізок А1А2 не паралельний осі Ох (рис. 6.). Спроектуємо точки А,А\,А2 на вісь Оу. Одержимо

АіА _ А\А _ Л2 АА2 ~ АА2 ~ Лі

звідси

Уі-У = А2 У ~ У2 Аі

л\ + л2Якщо відрізок А\А2 паралельний осі Ох, то у = у і = у2. Той же результат дає формула (1.2), яка, таким чином, справедлива при будь-якому розташуванні точок А\,А2.

Аналогічно знаходиться абсциса х точки А:

_ \lXl + \2Х2

х~  л1 + л2 • [1-6)

Отже, ми отримали наступні формули для координат точки А:

х = Аіжі + Л2ж2^      = Лщ + Л2у2^
Лі + Л2                  Лі + л2

Якщо А — середина відрізка А\А2, то Лі = Л2 і х = Х1+Х2; у = ш±ш^

Зауваження. Очевидно, що координата х точки А, що ділить відрізок А\А2 на прямій у відношенні Л2 : Лі (рис.6.1.) знаходиться за формулою (1.3), де Аг(Х1), А2{х2).

А      А А

        а    в       в        а    »

0 х Рис.6.1.

Вправа. Нехай А\(х\, у\, Z\) і А2(х2, у2, z2) — дві різні точки просто­ру (система координат косокутна декартова). Довести, що координати (х, у, z) точки А, що ділить відрізок А\А2 у відношенні Л2 : Лі виража­ються за допомогою формул

Ліжі + Л2ж2            Ліуі + Л2у2              Лі^і + \2z2

х = —\            \      '   у = —\           \     '     z = —\           \     • '1-5)

Аі + Л2                    Лі + Л2                    Лі + Л2

У частковому випадку, коли А — середина відрізка А\А2 формули (1.5) мають вигляд

хі + х2            уі+ у2               zi + z2

Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія