О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 30

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Таким чином, із правильності твердження для k = n 1 випливає його істинність для k = n. Отже, твердження теореми справедливе для будь-якого n ^ 2.

 

Механічний зміст опуклої оболонки. Якщо в точках Ai,..., An розташувати маси Xi,..., Xn відповідно, то точка A з радіус-вектором r центр мас точок Ai,..., An.

Опуклою оболонкою скінченної кількості точок Ai(rі),..., An(rn) є геометричне місце центрів будь-яких розподілень мас Xi,..., Xn, що розташовані в цих точках, якщо Xi + ... + Xn = 1.

 

3.3   Опорна пряма та опорна площина.

 

Нехай M — опукла множина на площині.

Визначення 3.3.1. Опорною прямою множини M називається така пряма, яка

1.  має з межею множини M спільні точки;

2.  M повністю лежить в замкненій півплощині, що обмежена цією прямою.

Самостійно дати визначення опорної площини множини, розташова­ної в просторі.

Приклад. Нехай M тілесний трикутник, що зображено на рис. 68. Через точку A проходить єдина опорна пряма. Через вершини трикутни­ків проходить нескінченно багато опорних прямих (рис. 68).Теорема 3.3.1. Через кожну межову точку опуклої множини на пло­щині (в просторі) проходить опорна пряма (площина).

Доведення. Розглянемо випадок площини. Нехай Р деяка фі­ксована межова точка опуклої множини М. Розглянемо сукупність усіх променів, що виходять з точки Р і проходять через внутрішні точки множини М (рис. 69). Назвемо цю сукупність променів конусом CP.

Доведемо, що множина CP опукла. Нехай промені 1\, 12 належать CP, на цих променях розташовані точки Qi, Q2 внутрішні точки мно­жини М. Оскільки М опукла множина, відрізок Q\Q2 належить М; оскільки Q\, Q2 внутрішні точки М, то круги досить малого радіуса з центрами в точках Q\, Q2 належать М; оскільки М опукла множи­на, то досить вузька смуга, всередині якої розташований відрізок Q\Q2, належить М. Значить, всі точки відрізка Q\Q2 є внутрішні точки мно­жини М, отже, конусу CP належать всі промені, які проходять через точку Р і точки відрізка Q\Q2, тобто тілесний плоский кут Q\PQ2 нале­жить CP. Таким чином, якщо довільні точки Х\, Х2 належать CP, то тілесний кут Х\РХ2 належить CP, отже, відрізок Х\Х2 належить CP, і опуклість CP доведено.

Оскільки CP опуклий кут на площині та менше або дорівнює 7г. Таким чином, множина М лежить у опуклому куті CP з вершиною в точці Р. Через вершину кута, який менше або дорівнює 7г, проходить опорна пряма І. Вона є опорною прямою множини М в точці Р (рис. 70). Самостійно довести теорему для просторового випадку.

 

 

Наведена теорема при природних обмеженнях допускає обернення.

Теорема 3.3.2. Замкнена множина М на площині (в просторі) з не­пустою внутрішністю, у якої через кожну межову точку проходить хоча б одна опорна пряма (площина), є опуклою.Доведення. Розглянемо плоский випадок. Кожна опорна пряма мно­жини M визначає замкнену півплощину, що має в собі M. Нехай M перетин всіх таких півплощин; M замкнена, опукла множина, що має в собі M. Покажемо, що M і M співпадають. Припустимо протилежне. Нехай точка P\ належить M, але не належить M, P2 внутрішня точка M. Всередині відрізка P\ P2 є межова точка Ро множини M. За умовою теореми через Ро проходить опорна пряма Іо , яка не співпадає з прямою Р\Р2. Множина M лежить у замкненій півплощині, що визначається прямою Іо і якій належить точка Р2. За визначенням множини M вона лежить у тій же півплощині. Ми прийшли до суперечності з припущен­ням, що точка Рі належить M і не належить M.

Доведення в просторовому випадку практично дослівно повторює сказане. доведених теорем випливає, що опуклі множини можна ви­значити двома способами.

I. Множина M опукла, якщо з того, що точки Р, Q належать M, випливає, що відрізок PQ лежить в M.

II. Замкнена множина M опукла, коли через кожну межову точку проходить опорна пряма (площина).

Півплощина задається лінійною нерівністю. Система лінійних нерівно­стей задає опуклу множину. Навпаки, кожна замкнена опукла множина на площині може бути задана системою нерівностей (взагалі кажучи, нескінченною).

Приклад. Круг не можна задати скінченною кількістю лінійних не­рівностей.

Нехай e 1, e2, e3 довільний базис в тривимірному евклідовому про­сторі, утворений одиничними векторами;

і       e 2 х e 3 2       e 3 х e 1 3       e 1 x e 2

e =---------------       e =-------------------- e =---------------

(e 1, e2, e3)'     (e 1, e2, e3)'     (e 1, e2, e3)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія