О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 31

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

дуальний базис.

Дуальність базисів відповідає двом способам задання опуклих мно­жин.

Розглянемо тригранний тілесний кут, який утворено базисними оди­ничними векторами e 1, e2, e3. Цей тілесний кут на одиничній сфері із центром у вершині кута вирізає сферичний трикутник, сторонами якого є дуги великіх кіл, які є перетином сфери з гранями тригранного кута.Дуги великих кіл на сфері грають ту ж роль, що й прямі на площині. Найкоротша лінія, що з'єднує дві точки на площині, відрізок; на сфері менша з дуг великого кола. Множина на сфері називається опуклою, якщо з будь-якими точками множині належить менша з дуг великого кола, що з'єднує ці дві точки.

Сферичний трикутник — опуклий. Розглянемо плоский трикутник. Його можна задати трьома точками вершинами трикутника, а можна трьома сторонами, які є опорними прямими трикутника.

Нехай сферичний трикутник задано вершинами. Задамо його опор­ними прямими дугами великих кіл. Опорні прямі перетин сфери з гранями тригранного кута, утвореного векторами e1, e2, e3.

Кожному великому колу можна поставити у відповідність пару точок наступним чином: через центр сфери проводимо пряму, перпендикуляр­ну до площини, в якій лежить велике коло; ця пряма перетне сферу в двох діаметрально протилежних точках; ці точки і ставимо у відповід­ність великому колу.

Отже, якщо грань тригранного кута задана векторами e 1, e2, то одна із дуальних точок це точка перетину променя, що проходить через центр сфери в напрямі вектора e3 = ^^e^l^) зі сферою. Аналогічно для інших граней.

Таким чином, знаючи базис e 1, e2, e3, ми одержали дуальний базис e1, e2, e3 так: від задання трикутника через вершини перейшли до за­дання його через опорні прямі.

 

3.3.1    Зв'язок між опуклими множинами i опуклими фун­кціями.

Функція y = f (t) називається опуклою, коли

f (\1t1 + A2t2) < A1f (t1)+ A2f (t2),

де A1, A2 ^ 0, A1 + A2 = 1, для будь-яких t1,t2, тобто функція називається опуклою, якщо будь-яка хорда графіка функції лежить над графіком. Функція y = f (t) називається увігнутою, коли

f (A1t1 + A2t2) > A1f (t1)+ A2f (t2), де A1, A2 ^ 0, A1 + A2 = 1, для будь-яких t1,t2.

Вправа. Довести, що множини M1, M2 опуклі, де M1 : j tyУ = f (t) деяка опукла функція;у ^ q(t)

М2 : <!        ,     '     у = g(t) деяка опукла функція, к,Ь Є R

У ^ Kb + 0,


(рис. 71)

Розглянемо замкнену обмежену опуклу множину М на площині. Не­хай Ро довільна точка границі множини, І опорна пряма, що прохо­дить через точку Ро - Введемо на площині прямокутну систему координат так, що вісь t паралельна прямій І. Будемо проводити прямі, які перпен­дикулярні до прямої І. Знайдуться межові точки Qo,Ro, множини М, такі, що прямі, перпендикулярні до прямої І і які проходять через точки Qo, Ro, опорні прямі для множини М.

У загальному випадку перетини опорних прямих з опуклою множи­ною можуть складатися з відрізків. Але будь-яким завгодно малим по­воротом пряму І можна перевести в пряму V, таку, що перпендикулярні до неї опорні прямі мають з фігурою тільки по одній спільній точці.

Межа L опуклої множини М точками Qo, Ro ділиться на дві частини, кожну з яких прямі, паралельні осі у, перетинають в одній точці; отже, кожну частину межі L можна вважати графіком деякої функції. Нехай це будуть функції у = f(t) і у = g{t) (рис. 72). Функція у = f(t) є опуклою, а функція у = g(t) увігнутою.Вправа.

1.  Якщо є функція y = f (t) класу C2, тобто у функції існують перша і друга похідна, така, що f" ^ 0, то функція опукла.

2.  Якщо функція y = f (t) опукла і класу C2, то f" ^ 0.

3.  Якщо функція y = f(t) належить класу C2 і f" ^ 0, то функція увігнута.

4.  Якщо функція y = f (t) є увігнута і належить класу C2, то f" ^ 0. Довести.

 

3.4   Відділимість опуклих множин.

Нехай Mi, M2 опуклі множини, що не перетинаються на площині, Mi П M2 = 0. З'ясуємо, коли існує пряма, що відділяє множини, тобто така пряма, що Mi лежить в одній відкритій півплощині, що визначає­ться цією прямою, а M2 — в другій.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія