О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 32

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

 

Приклади.

1.  Mi (рис. 73) не є опукла, і прямої, що відділяє множини Mi і M2, немає.

2.  Mi внутрішність круга; M2 опорна пряма круга з межею: Mi П M2 = 0; Mi і M2 опуклі множини. Прямої, що відділяє Mi і M2, не існує (рис. 74).

3.   Mi:{X > 0; M2: y <0;

Mi П M2 = 0; множини Mi і M2 опуклі і замкнені. Прямої, що відділяє Mi і M2, немає (рис. 75).

 

Теорема 3.4.1. Нехай Mi, M2 замкнені опуклі множини, що не пе­ретинаються на площит, одна з яких обмежена. Тодi Mi, M2 вiддiли-мі, тобто існує така пряма на площит, що Mi i M2 лежать в різнш вiдкритих півплощинах, що визначаються цією прямою.

Відстань р між довільними множинами Mi, M2 обчислюється за формулою

p(Mi ,M2 )=      inf      \XY \.

X&M1tY&M23.4. ВІДДІЛИМІСТЬ ОПУКЛИХ множин.


85Зауважимо, що раніше ми так само визначали відстань від точки до прямої і площини, відстань між прямими.

Вернемося до розглянутих вище прикладів. В прикладах 2 і 3 від­стань між множинами М\, М2 дорівнює нулю, але вона не досягається ні в якій парі точок. Вимоги теореми забезпечують те, що відстань між множинами досягається на деякій парі точок. Приклад 1 показує, що вимога опуклості множини істотна: відстань між множинами М\ і М2 досягається на деякій парі точок, але множини не відділимі, оскільки М\ неопукла множина.

Доведення. Нехай точка Х(х\,х2) Є Мі, точка У(уі,у2) Є М2. Роз­глянемо функцію чотирьох змінних

f(X,Y) = л/(х1-у1)2 + (х2-у2)2,

тобто /(Х,У) = \XY\.

Доведення проведемо для випадку, коли Мі і М2 обмежені мно­жини.

Загальний випадок, сформульований у теоремі, зводиться до цього випадку, оскільки у випадку необмежності множини М2 при наближенні точки Y до нескінченності, значення функції / прямує до нескінченності.

Згадаємо теорему Веєрштраса: неперервна функція у = f{x), що задана на відрізку, досягає свого найбільшого і найменшого значень.

Істинне також твердження, аналогічне теоремі Веєрштраса: непе­рервна функція кількох змінних, що задана на обмеженій замкненій множині, досягає свого найбільшого та найменшого значень.

Отже, існують точка Хо Є Мі і точка Уо Є М2, такі, що /(Хо, Уо) ^ /(X де X довільна точка множини Мі, У довільна точка множини М2. Отже, р(Мь М2) = /(Х0, У0) = Ро; ро > 0, оскільки Мі П М2 = 0.

Ясно, що точки Хо, Уо лежать на межах множини Мі і М2, відповід­но. Справді, якщо хоч би одна з цих точок була внутрішньою точкою множини, ми б розглянули відрізок ХоУ і знайшли на ньому точки Х0,У0', такі, що |Х0У0'| < |Х0У0|.Проведемо прямі 1\ і І2, перпендикулярні до відрізка XqYq і які про­ходять через точки Хо, Yq, відповідно. Доведемо, що 1\,І2 опорні прямі множин М\, М2, відповідно. Нехай 1\ не опорна пряма множини М\. Отже, точки множини М\ лежать в обох півплощинах, які визначаються прямою 1\. Нехай точка С множини М\ лежить в тій же півплощині, обмеженій прямою 1\, що і пряма /2. Проведемо пряму а через точки С і Хо. Відрізок СХо належить множині М\, оскільки вона опукла. Опусти­мо перпендикуляр із точки Уо на пряму а, нехай точка А основа пер­пендикуляра. Якщо точка С належить відрізку XqA, то |ХоУо| > |СУо|, що суперечить твердженню: |ХоУо| відстань між множинами М\ і М2. Якщо точка С не належить відрізку XqA (рис. 76), розглянемо відрізок AYq. Оскільки множині М\ належить відрізок СХо, то точка А нале­жить множині М\, але |ХоУЬ| > |^4Уо|; одержали суперечність з тим, що |ХоУо| відстань між множинами М\, М2.
Аналогічно можна довести, що пряма /2 є опорною прямою множини

М2.

Прямі 1\ і І2 паралельні. Нехай точка К ділить пополам відрізок ХоУЬ- Проведемо через точку К пряму І, яка паралельна прямим 1\, /2. Пряма І відділяє множини М\, М2.

Аналогічна теорема істинна для просторового випадку.

 

3.5   Найпростіша задача лінійного програмуван­ня.Задача. Цех випускає вироби двох типів. Якщо цех буде випускати тільки вироби першого типу, він випустить 100 єкзємплярів; якщо цех буде випускати тільки вироби другого типу, він випустить 300 єкзємпля­рів. ВТК може перевірити 150 виробів (не суттєво, якого типу). Вироби

1-го типу коштують в два рази дорожче, ніж вироби 2-го типу. Скіль­ки і яких виробів повинен випускати цех, щоб одержати максимальний прибуток.

Розв'язування. Нехай x кількість виробів 1-го типу, які необхідно випустити, щоб одержати максимальний прибуток; y кількість виробів

2-го типу, що дають максимальний прибуток. Тоді із умови задачі маємо:

x + y < 150;   3x + y < 300;   x ^ 0;   y ^ 0; (3.4) f = 2x + y вартість випущених виробів.

Таким чином, щоб розв'язувати задачу, потрібно знайти максимум лінійної функції двох змінних f = 2x + y, аргументи якої задовольняють системі лінійних нерівностей (3.4). Система (3.4) задає опуклу множину M (рис. 77). Розглянемо пряму l, що задана рівнянням 2x + y = h. Змінюючи h, одержимо сім'ю паралельних прямих, серед яких є пряма lo з рівнянням 2x + y = ho, що є опорною прямою множини M (рис. 77).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія