О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 33

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Зауваження. Розглянемо опуклий многокутник на площині. Через ко­жну точку його .межі проходить опорна пряма. Якщо точка є внутрі­шня точка сторони многокутника (не співпадає з вершиною), то через неї проходить єдина опорна пряма, яка має в собі сторону многокутни­ка. Якщо точка є вершина многокутника, через неї проходить мно­жина опорних прямих, в тому числі і прямі, на яких лежать сторо­ни многокутника, які виходять з даної вершини. Таким чином, кожна опорна пряма опуклого многокутника є опорна пряма в деякій вершині многокутника.

Розглянемо опуклий многогранник. Через кожну точку його межі можна провести опорну площину. Через точку межі, яка не лежить на ребрі можна провести єдину опорну площину площину грані. Через внутрішню точку ребра можна провести множину опорних площин; це частина жмутка площин, що проходять через пряму, яка має в собі ребро многокутника. Через вершину проходить множина опорних площинчастина в'язки площин з центром в цій вершині. Аналогічно плоскому випадку будь-яка опорна площина опуклого многогранника в довільній точці є опорною в одній із вершин многогранника.

Все сказане має місце і для опуклих многогранників у багатовимір­ному просторі.На підставі зауваження опорна пряма lo проходить через вершину P многокутника M. Максимальний прибуток підприємства ho досягається, таким чином, при x і y, що є розв'язком системи рівнянь

x + y = 150;   3x + y = 300,

звідси x = 75, y = 75.

Найпростішою задачею лінійного програмування є задача знаход­ження максимуму лінійної функції f = e^x*, що досягається на опуклому многограннику, який задано системою лінійних нерівностей

ak x* + dk > 0;   x* > 0;    i = 1, 2   (i = 1, 2, 3);   k = 1,...,m.

Найбільше значення лінійної функції, якщо воно не дорівнює нескін­ченності, завжди досягається у вершині багатогранника. Тому рішення задачі зводиться до перебору вершин.

Задачі.

1. Транспортна задача. Є два родовища вугілля, на першому добу­вають 1000 т. вугілля, на другому — 1500 т. I є три споживачі, яким необхідно: 1-му — 900 т. вугілля, II-му — 1100 т., III-му — 500 т. Відомо, що вартість транспортування вугілля від i-го родовища до j-го спожи­вача дорівнює Cij. Скільки потрібно везти вугілля з першого родовища і скільки з другого кожному споживачу, щоб загальна вартість транспор­тування була найменшою?

Вказівка. Потрібно знайти мінімум функції

 

f =      Cij xij,

ij

де x*j кількість вугілля, яке везуть з i-го родовища до j-го споживача, де i = 1, 2;  j = 1, 2, 3.

2. Деяка продукція виробляється в пунктах A і B, звідки перевози­ться в пункти I, II, III. В пункті A виробляється 250 одиниць продукції, а в пункті B — 350 одиниць. У пункт I потрібно перевізти 150 одиниць, у пункт II — 240, у пункт III — 210. Вартість перевезення однієї одиниці продукції дається таблицею.

Скласти оптимальний план перевезення.

Підприємство для виробництва двох видів продукції повинно вико­ристати три види сировини, що є в наявності в наступних кількостях: 17 одиниць виду A, 9 одиниць виду B та 8 одиниць виду C. На виробництво однієї одиниці першого виду продукції потрібно витратити 2 одиниці си­ровини виду A та 2 одиниці виду C, а для другого виду продукції на3.5. НАЙПРОСТІША ЗАДАЧА ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ. 89

 

Пункт виробництва

Пункт споживання

 

І

II

 

III

А

4

3

 

5

В

5

6

 

4

 

 

кожну одиницю виходу йде 2 одиниці сировини А і 3 одиниці сировини виду В. Прибуток, що одержує підприємство від реалізації одиниці пер­шого виду продукції, дорівнює трьом умовним одиницям, а для другого виду продукції чотирьом. Потрібно спланувати роботу підприємства так, щоб забезпечити найбільший прибуток.

4.  На тваринницькій фермі відгодовують худобу. Нехай відомо, що кожній тварині потрібно щоденно видавати не менше 6 одиниць речо­вини А, 8 одиниць речовини В та 12 одиниць речовини С (наприклад, жири, білки, вугліводи). Для відгодовування тварин можна закупити два види кормів (наприклад, макуха та комбікорм). Одиниця маси пер­шого корму має в собі 2 одиниці речовини А, 2 одиниці речовини В та 4 одиниці речовини С, а вартість його дорівнює 3 грн. Для другого кор­му відповідно дорівнюють 3, 2, 1 одиницям та 2 грн. Потрібно скласти раціон, при якому була б забезпечена добова потреба в речовинах А, В і С, причому вартість його була б найменшою.

5.  В кожній з чотирьох посудин є по 1 л. суміші кислоти з водою. Процентний зміст кислоти в них дорівнює 10, ЗО, 60, 80 %, відповідно. Лаборанту потрібно одержати 50 % суміші кислоти з водою. Яка най­більша кількість суміші може бути ним виготовлена зливанням суміші із даних посудин?

6.  Потрібно виготовити сплав, що має 40 % олова. На складі є три сплави з 60, 10 та 40% вмістом олова. Ціна кожного із сплавів, що є в наявності, дорівнює 4,3; 5,8; 5,5 грн., відповідно. Які сплави і в якому співвідношенні потрібно взяти на складі, щоб 1 кг нового сплаву був якомога дешевший?

Малюк може з'їсти торт за 10 хв., банку варення за 8 хв., ка­струлю молока за 15 хв.. Карлсон може з'їсти торт за 2 хв., банку варення за 8 хв., каструлю молока за 4 хв.. За який найменший час Малюк та Карлсон разом можуть з'їсти сніданок із торта, банки варення та каструлі молока?Розділ 4

 

Криволінійні координати та способи задання кривих і поверхонь

 

 

 

Згадаємо, що коли (x1,x2) косокутні декартові координати на пло­щині, то координатними лініями x1 = const, x2 = const є прямі і через кожну точку площини проходять дві координатні лінії. Якщо (x1,x2,x3) косокутні декартові координати у просторі, то координатні поверх­ні x1 = const, x2 = const, x3 = const є площини і через кожну точку простору проходить три координатні поверхні.

 

 

4.1   Полярна система координат на площині.

 

Виберемо на площині точку O, промінь l з початком в точці O і орієн­тацію, тобто додатний напрям відліку кутів (рис. 78). Нехай P довіль­на точка площини, OP радіус-вектор точки P. Нехай р = \OP\ ^ 0), ф кут, який утворює радіус-вектор OP з віссю l (0 ^ ф < 2п). Тоді (р, ф) полярні координати точки P. Точка O називається полюсом, промінь l полярною віссю полярної системи координат.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія