О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 34

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Розглянемо прямокутну декартову площину (р, ф). Область зміни по­лярних координат р, ф це півсмуга, верхня границя якої не досягається

(рис. 79).

Полярні координати мають особливість у полюсі. Точці O не можна поставити у відповідність єдину пару чисел (р,ф), оскільки для O буде р = 0, а ф не визначено.
Координатні лінії: <р> = const промені, що виходять з полюса О під кутом до осі 1; р = const кола радіуса р з центром у точці О (рис. 80).
Зауважимо, що всі промені <р> = const проходять через спільну точку полюс полярної системи координат, на відміну від декартової системи координат, де через кожну точку площини проходить рівно одна пряма кожного сімейства координатних ліній.

Знайдемо зв'язок між декартовими та полярними координатами то­чки при спеціальному виборі декартової системи, а саме: за додатну пів­вісь Ох приймемо полярну вісь, за початок координат полюс О, вісь Оу направимо так, щоб з нею співпадала вісь Ох при повороті на кут ^ в додатному напрямі. Тоді

 

( х = pcos tp, \ y = psin<p,

де (х, у) декартові координати точки Р, (р, tp) полярні координати точки Р (рис. 81).

Рівняння будь-якої прямої у декартовій системі координат має виглядах + by + с = 0,   а2 + b2 ф 0.


(4.1)4.1. ПОЛЯРНА СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ.


93З'ясуємо, який вигляд буде мати рівняння прямої в полярній системі координат. Підставимо у рівняння (4.1) рівності

( х = р cos tp, \   y = psintp

одержимо рівняння прямої в полярній системі координат:

р(а cos tp + b sin tp) + с = 0. (4.2)

Перетворимо рівняння (4.2):

р(а cos tp + b sin tp) + с

Va2 + б2 ~

Введемо кут tpo такий, що

 

 

 

і позначимо h = ^a2+b2 {h є відстань від початку координат до нашої прямої).

Тоді рівняння прямої в полярній системі координат має вигляд

pcos(tp tpo) + h = 0.

Розглянемо рівняння кривих в полярній системі координат.

1.    
р = (р, ^ 0 спіраль Архімеда (рис. 82).

2.     р = е^, оо < tp < +00 логарифмічна спіраль (рис. 83).

Параметричні рівняння логарифмічної спіралі в прямокутній декар-товій системі координат, що зв'язана з полярною системою координат так, як було описано вище, наступні:

( х = cos tp, \ у = ev sin tp.Нехай на площині задано криволінійні координати и1,и2. Геометри­чне місце точок, для яких одна із координат приймає фіксоване значен­ня, називається координатною лінією.

 

Вправи.

1.  Виразити полярні координати через декартові.

2.  Знайти відстань між точками Р\(рі,(рі) і Р2{р2,ф2) в полярній си­стемі координат.

3.  Записати в полярній системі координат рівняння кола радіуса г з центром в точці (а,Ь).

 

4.2   Криволінійні координати в просторі.

 

4.2.1   Циліндрична система координат.

Нехай у площині тт задано полярну систему координат. Вісь Oz пер­пендикулярна до тт, проходить через полюс О і орієнтована так, що з кінця Oz додатне обертання в площині тт видно як обертання проти го­динникової стрілки. Нехай Р довільна точка простору, точка Роснова перпендикуляра, який опущено з точки Р на площину тт, а точ­ка Pz основа перпендикуляра, який опущено з точки Р на вісь Oz (рис. 84). Нехай полярні координати точки Р суть (р,(р), а координата точки Pz є z. Тоді три числа (р, <р, z) називаються циліндричними коор­динатами точки Р, р ^ 0, 0 ^ < 2тт, оо < z < +оо.

 

 

 

Розглянемо координатні поверхні циліндричної системи: р = constсімейство прямих кругових циліндрів, віссю яких є вісь Oz; ір = constпівплощини, що обмежені віссю Oz; z = const площини, що перпенди­кулярні до осі Oz.4.2. КРИВОЛІНІЙНІ КООРДИНАТИ В ПРОСТОРІ.


95Особливими точками циліндричної системи координат є точки осі Oz, оскільки для них не визначена координата ф. Через кожну точку осі Oz проходять всі координатні поверхні сімейства ф = const.

Одержимо формули переходу від циліндричних координат до прямо­кутних декартових координат. Площину п приймемо за площину Oxy, додатну піввісь Ox сумістимо з полярною віссю, вісь Oy направимо так, щоб найкоротший поворот від Ox до Oy відбувався в додатному напрямі, вісь Oz залишимо на місці (рис. 85).

Тоді

 

Вправи.

1.  Знайти відстань між точками Р\(р\,ф\, z\) і P2(p2,ф2^2) в цилін­дричній системі координат.

2.  Записати рівняння довільної площини в циліндричній системі ко-

ординат.

 

4.2.2   Сферична система координат.

Нехай на площині п задано полярну систему координат. Вісь Oz пер­пендикулярна до п, проходить через полюс O і орієнтована так само, як у випадку циліндричних координат. Нехай P довільна точка просто­ру. Нехай p = \OP\, ф полярний кут, що відповідає точці P основі перпендикуляра, який опущено з точки P на площину п, ф кут між радіус-вектором OP точки P та площиною п, причому ф ^ 0, якщо P розташована у півпросторі z ^ 0, ф < 0 в протилежному випадку (рис. 86). Тоді три числа (р,ф,ф) називаються сферичними координата­ми точки P, p ^ 0, 0 ^ ф < 2п, 2 ^ ф ^ 2, ф називається довготою, ф широтою точки P.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія