О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 35

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Тноді за третю координату приймають кут ф', який радіус-вектор OP точки P утворює з додатним напрямом осі Oz, 0 ^ фі ^ п, ф' = п фі.

Координатні поверхні сферичної системи координат: p = const сі­мейство концентричних сфер з центром у полюсі; ф = const сімейство півплощин, що обмежені віссю Oz; ф = const сімейство кругових ко­нусів, віссю яких є вісь Oz (в це сімейство входять вісь Oz і площина п).

Особливими точками сферичної системи координат є точки осі Oz, для цих точок кут ф не визначений однозначно.Знайдемо зв'язок між прямокутними декартовими і сферичними ко­ординатами точки. Площину приймемо за площину Оху, полярну вісь за додатну піввісь Ох, вісь Оу напрямимо так, щоб найкоротший по­ворот від Ох до Оу відбувався в додатному напрямі, вісь Oz залишимо на місці. Тоді

X = р COS (f cos ір, у = рвіїкрсовф, z = рв'тф.

Розглянемо сферу р = const. Меридіани на сфері це лінії перетину сфери з площинами = const. Паралелі це лінії перетину сфери з конусами ф = const (рис.87).

 

 

 

Нехай у просторі задано криволінійні координати ul,u2,v?. Геоме­тричне місце точок, для яких одна з координат приймає фіксоване зна­чення, називається координатною поверхнею. Геометричне місце точок, для яких дві координати приймають стале значення, називається коор­динатною лінією.

Паралелі, меридіани і промені, що виходять з полюса, координатні лінії сферичної системи координат.

 

Вправа. Знайти координатні лінії циліндричної системи координат.4.3   Способи задання кривих i поверхонь.

 

Згадаємо, як ми задавали пряму i площину.

1.  Параметричне задання.

Параметричне задання прямої:

 

r = r0 + at,   —ж <t< +ос,

 

де r = (x, y, z) — радiус-вектор довільної точки прямої, r0 = (x0,y0, z0) радіус-вектор фіксованої точки прямої, a = (a1, a2, a3) напрям­ний вектор прямої.

В координатній формі:

 

x = x0 + alt, y = уо + a21, z = z0 + a31.

 

Параметричне задання площини:

 

r = r0 + ua + ub,   —ж < u,u < +oc,

 

де r = (x, y, z) радіус-вектор довільної точки площини, rо радіус-вектор фіксованої точки площини, a, b неколінеарні век­тори, що лежать в площині.

В координатній формі:

 

x = x0 + a1u + blv, y = y0 + a2u + b2u, z = z0 + a3u + b3u.

2.  Неявне задання.

Пряма на площині задається як множина точок, координати яких задовольняють рівнянню ax + by + c = 0,  де a2 + b2 = 0.

Площина: ax + by + cz + d = 0, де a2 + b2 + c2 = 0.

„                           .   Г aix + b\y + c\z + d\ = 0,

Пряма в просторі:

a2x + b2y + c2z + d2 = 3. Явне задання.

Рівняння прямої на площині, що не перпендикулярна до осі Ox, можна записати у вигляді

 

y = ax + b.

 

Прямі, які паралельні осі Oy, перетинають таку пряму в одній то­чці.

Рівняння площини, яка не перпендикулярна до площини Oxy, мо­жна записати у вигляді

 

z = ax + by + c.

 

Прямі, які паралельні осі Oz, перетинають таку площину в одній точці.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія