О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 36

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

 

Зауважимо, що явне задання є окремим випадком як параметри­чного так і неявного задання. Справді, нехай пряма на площині задана явно: y = ax + b. Виберемо параметром декартову коорди­нату x і одержимо параметричне задання прямої

 

J     x = t, \ y = at + b.

 

Неявне задання прямої є наступним:

 

y ax b = 0.

 

 

Для площини z = ax + by + c параметричне задання буде

 

 

y = v, z = au + bv + c.

 

Неявне задання площини є

 

ax + by + c z = 4.3.1   Поняття кривої.

Нагадаємо, що взаємно однозначне і неперервне відображення, обер­нене до якого також неперервне, називається топологічним відображен­ням (гомеоморфізмом).

Нехай L множина точок на площині або в просторі, Р довільна точка множини L.

Околом Us(P) точки Р в L називається перетин відкритої кулі Dp(P) (в тривимірному випадку) або круга (в двовимірному випадку) з цен­тром в точці Р з множиною L, тобто Us(P) = Dp(P) П L.

Множина L називається відкритою, якщо разом з кожною своєю то­чкою вона має в собі деякий її окіл.

Множина називається зв 'язною, якщо її не можна представити у ви­гляді об'єднання двох відкритих непустих множин, що не перетинаю­ться.

Образ відкритого інтервалу при топологічному відображенні його на площину або в простір називається елементарною кривою, тобто елемен­тарна крива гомеоморфна відкритому інтервалу. Раніше ми показали, що відкритий інтервал гомеоморфний прямій. Отже, елементарна крива є гомеоморфною і прямій.

Множину точок простору (або площини) будемо називати вкладеною кривою, якщо ця множина зв'язна і кожна її точка має окіл, що є еле­ментарною кривою.

 

Приклади.

1. Коло не є елементарною кривою, оскільки воно не є гомеоморфним інтервалу.

2. Лемніскатою Бернуллі (рис.88) називається крива, яка в деякій прямокутній системі координат задається рівнянням вигляду

Вправа. Записати це рівняння в полярній системі координат.



(*2 + ?/2)2-2aV-2/2)2 = Розглянувши початок координат, впевнитися, що ця крива не є вкла­деною кривою.

Зануреною кривою називається геометричне місце точок в просторі, яке є образ вкладеної кривої при неперервному відображенні, причому неперервне відображення локально є топологічним.

Занурена крива може мати самоперетини.

 

Приклад. Лемніската Бернуллі є зануреною кривою (рис. 89). Локальне дослідження будь-якої кривої може бути зведено до роз­глядання елементарної кривої.

 

4.3.2   Поняття поверхні.

Приклад. Внутрішності круга і квадрата топологічно еквівалентні, тоб­то гомеоморфні.

Дійсно, розтягуємо відрізок OA до О В (рис. 90). В різних напрямках розтягування різне. Самостійно записати це топологічне відображення.

 

 

Елементарна поверхня це образ внутрішності круга при топологі­чному відображенні його в просторі, тобто елементарна поверхня гомео-морфна внутрішності круга.

 

Приклад. Розглянемо поверхню яка задана рівнянням z = х2 + у2. Ця поверхня гомеоморфна площині. Але площина гомеоморфна відкри­тому кругу. Гомеоморфізм відкритого круга та площини встановлюється так: спочатку показують, що відкритий круг гомеоморфний відкритій півсфері (можна розглянути ортогональне проектування півсфери на площину (рис. 91)), потім так як показано на рис. 92, встановлюємо гомеоморфізм відкритої півсфери і площини. Самостійно аналітично за­писати вказані відображення півсфери на площину і показати, що вони топологічні.
Отже, поверхня, що заданя рівнянням z = х2 + у2 є елементарною поверхнею (рис. 93).

Вкладеною поверхнею називається зв'язна множина, для будь-якої точки якої існує окіл, гомеоморфний відкритому кругу.

Приклад. Сфера є вкладеною поверхнею, оскільки окіл довільної точки сфери гомеоморфний відкритому кругу. Але сфера не гомеоморф­на площині і не є елементарною поверхнею.

Зауваження. Як відомо з топології, кожна вкладена крива гомеоморф­на або прямій, або колу. Вкладених поверхонь значно більше. Дійсно, тор є вкладеною поверхнею, але він не гомеоморфний ні площині, ні сфері.

Зануреною поверхнею називається геометричне місце точок в про­сторі, яке є образом вкладеної поверхні при неперервному відображен­ні, причому неперервне відображення локально є топологічним. Іншими словами, ця поверхня може мати самоперетини.

4.3.3      
Приклад зануреної поверхні, що не є вкладеною, наведено на рис. 94 (верхньої грані куба немає).Параметричне задання кривих.

Розглянемо елементарну криву, що одержана при топологічному від­ображенні інтервалу (а, Ь) у простір. Кожній точці t інтервалу ставиться у відповідність радіус-вектор r (t) точки кривої.

Рівняння r = r(t), а < t < Ь, називається параметричним рівнянням кривої.

Координатний запис цього рівняння має вигляд

 

 

у = y(t),

z = z(t).

Параметрично задаються також вкладені і занурені криві, при цьому область зміни параметра не обов'язково буде відкритим інтервалом.

 

Приклад. Нехай на площині задано прямокутну декартову систему координат і полярну систему координат, які зв'язані так:

( x = р cos ф, \ у = р sin ф.

Рівняння кола радіуса R з центром на початку координат в полярній системі координат буде

 

р = R,   0 ^ ф< 2п.

 

Параметричне задання цього ж кола в декартовій системі координат:

x = R cos ф, у = R sin ф, 0 < ф< 2п.

Параметрично задану криву можна тлумачити як траєкторію руху ма­теріальної точки, де t час.

4.3.4       Параметричне задання поверхонь.

Нехай F елементарна поверхня, D2 круг; u, v координати пло­щини, в якій лежить круг D2; x, у, z декартові координати в просторі.

Кожній точці (u, v) внутрішності круга D2 ставиться у відповідність радіус-вектор r(u,v) точки поверхні.Рівняння r = r(u,v), де (u,v) Є D2, називається параметричним рівнянням поверхні.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія