О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 37

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

В координатному вигляді рівняння записується так

 

x = x(u, v), у = y(u,v), z = z(u, v).

 

Параметрично задаються також вкладені і занурені поверхні, при цьому область зміни параметрів u, v не завжди співпадає з внутрішністю круга.

 

Приклади.

 

1. Розглянемо в просторі прямокутні декартові і сферичні координа­ти, які зв'язані рівняннями

 

x = р cos ф cos tp, у = р sin ф cos tp, z = р sin p.

 

1.1. Нехай р = const = R, а 0 ^ ф < 2n, | ^ tp ^ 2. Тоді

 

x = R cos ф cos tp, у = R sin ф cos tp, z = R sin p.

є параметричні рівняння сфери радіуса R з центром на початку координат.

Розглянемо на сфері меридіани ф = const і паралелі p = const. Ці лінії задають криволінійну систему координат на сфері, яка має особливості в північному і південному полюсах (рис. 95).

Нехай r = r (u, v) параметричне задання деякої поверхні. Якщо u = const, то r = r (u, v) радіус-вектор однієї змінної, тобто r = r (u, v) задає криву при u = const. Змінюючи значення u, одер­жимо сімейство кривих на поверхні. Аналогічно, r = r(u, v) задає інше сімейство кривих на поверхні при v = const. Лінії u = const, v = const називаються координатними лініями на поверхні, а u,v криволінійними координатами точок поверхні.1.2. Нехай tp = const = tp0, а 0 ^ р < +оо, 0 ^ ф < 2п. Тоді

x = р cos ф cos p0, у = р sin ф cos p0, z = р sin tp0

 

є параметричне рівняння конуса.

2. Розглянемо в просторі прямокутні декартові і циліндричні коорди­нати, які зв'язані рівняннями

{

x = р cos ф, у = р sin ф, z = z.

 

Нехай р = const = R, а 0 ^ ф < 2п, —оо < z < +оо. Тоді

{

x = R cos ф, у = R sin ф, z = u, 0 ^ ф < 2п, —оо < u < +оо

є параметричні рівняння прямого кругового циліндра радіуса R, віссю якого служить вісь Oz. Кола u = const і прямолінійні твірні циліндра утворюють криволінійну систему координат на циліндрі без особливостей.

Зауважимо, що не будь-який радіус-вектор r = r(u,v) задає по­верхню.

 

Приклад.

x = u + v, у = u + v, z = u + v, —оо < u,v < +оо.

Позначимо u + v через t. Одержимо

 

 

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія