О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 38

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

у = t,

z = t, —оо <t< +оо.Це рівняння задає пряму в просторі.

Таким чином, необхідні додаткові умови на радіус-вектор г = г (и, v), щоб він задав поверхню. Щоб уникнути вироджених, неприємних випад­ків, щоб поверхні мали більш звичайний вигляд, область зміни радіус -вектора повинна задовольняти додатковим вимогам. Ці умови будуть одержані в курсі диференціальної геометрії.

 

4.3.5   Неявне задання кривих і поверхонь.

Неявно заданою кривою на площині називається геометричне місце точок на площини, координати яких х, у задовольняють рівнянню f(x, у) = 0.

Приклади.

1. 
ах + by + с = 0.

2.  - а)2 + {у- Ь)2 - г2 = 0.

3.  (х2 + у2){х2 + у2 - 1) = 0 (рис. 96).

4.  х3 + у3 Заху = 0 — лист Декарта (рис. 97).

Зауваження. Приклад 3 показує, що для того, щоб               задання ви-

значало криву в розуміні данного вище визначення, необхідні додаткові умови. Ці умови ми розглянемо в курсі диференціальної геометрії.

Неявно заданою поверхнею називається геометричне місце точок в просторі, координати яких х, у, z задовольняють рівнянню F(x, у, z) = 0.

 

Приклади.

2.  1. х2 +у2 + z2 - R2 = 0(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 - R2 = 0

3.  x2 + y2 - 1 = 0 — круговий циліндр з віссю обертаня Oz.

4.  f (x, y) = 0 — циліндр з твірною, паралельною осі Oz.

5.  (x2 + y2)(x2 + y2 + z2 - 1) = 0 — сфера радіуса 1 з центром на початку координат і вісь Oz.

Зауваження. Приклад 5 показує, що для того, щоб рівняння F(x, y, z) = 0 задавало поверхню в розумінні данного вище визначення, необхiднi до-датковi умови.

 

4.3.6   Явне задання кривих i поверхонь.

Крива на площині називається явно заданою, якщо вона є графік функції y = f (x).

Приклади.

1.  y = kx + b.

2.  y = x2.

 

Прямі, паралельні осі y, перетинають таку криву в одній точці і за­дають топологічне відображення кривої на інтервал осі Ox.

Поверхня називається явно заданою, якщо вона є графік функції z = f (x,y). Точки такої поверхні мають координати (x,y,f (x,y)).

Приклади.

1.  y = ax + by + c.

2.  z = x2 + y2.

 

Відображення такої поверхні на область площини Oxy задається ор­тогональним проектуванням у напрямку осі Oz. Довільна пряма, пара­лельна осі Oz, перетинає і поверхню, і площину в одній точці, ці точки ставляться у відповідність одна одній.

Явне задання це окремий випадок як параметричного, так і неяв­ного задання.Дійсно, нехай крива задана явно:

 

У = fix)-

 

Відповідне параметричне задання буде

 

v = f(t).

Неявне:

У ~ № = 0. Нехай поверхня задана явно:

z = f{x,y). Відповідне параметричне задання буде

 

 

У = v, z = f(u,v)

 

Неявне:

z - f(x,y) = 0.

 

4.3.7   Зв'язки між різними способами задання кривих.

 

Приклад. Розглянемо різні способи задання кола радіуса R з цен­тром на початку координат (рис. 98).
Неявне задання:


х2 + у2 = В2.Параметричне задання:

x = R cos t, y = R sin t, 0 < t< 2n.

Явне задання верхнього півкола:

y = \JR2 - x2,

явне задання нижнього півкола:

y = -л/R2 - x2.

 

В околі точки A (рис. 98) коло також можна задати явно:

 

x = у1R2 - y2.

 

Нехай деяка крива задана параметрично:

{ x = fl(t), I y = f2(t).

Як перейти до явного задання? Потрібно виключити t з двох рівнянь

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія