О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 39

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

x = fl(t), y = f2 (t).

Наприклад, t = f- 1(x) і y = f2(f- 1(x)) явне задання кривої, або t = f2~-(y) і x = fi(f2~-(y)).

Повернемося до розглянутого вище прикладу. Щоб одержати з па­раметричного задання кола явне задання верхнього півкола, з першого рівняння знайдемо t = arccos R і підставимо в друге рівняння, одержимо

 

x                    x2 і---------------

y = R sin(arccos —) = R\ 1 - —2 = у R2 - x2. R R2

 

4.3.8   Зв'язки між різними способами задання поверхонь.

Нехай поверхня задана неявно: F(x, y, z) = 0. Взагалі кажучи, для будь-якої точки поверхні існує окіл, який можна задати явно. Якщо прямі, що паралельні осі Oz, перетинають окіл не більше ніж в одній точці, то її можно задати так: z = f(x, y); якщо прямі, що паралельні осі Oy, перетинають окіл в одній точці, то y = <p(x, z) в цьому околі; якщо прямі, що паралельні осі Ox, перетинають окіл в одній точці, то x = g(y, z) в цьому околі. Достатність умови існування явного заданнябудуть сформульовані в курсі диференціальної геометрії. Але в цілому поверхню (наприклад, сферу, тор) задати явно не можна. Щоб перейти від параметричного задання поверхні

x = x(u, v), y = y(u,v), z = z(u, v)

до неявного, потрібно виключити з трьох рівнянь u, v.

Щоб перейти від параметричного задання поверхні до явного, по­трібно, використовуючи два рівняння, виразити u, v через відповідні декартові координати і підставити ці вирази в третє рівняння.

Приклад.

x = R cos u cos v, y = R cos u sin v, z = R sin u

параметричні рівняння сфери. Піднесемо ці рівняння до квадрату й додамо, одержимо неявне задання сфери:

x2 + y2 + z2 = R2.

Явне задання верхньої півсфери:

z = л/R2 - x2 - y2,

явне задання нижньої півсфери:

z = -\JR2 - x2 - y2.

 

4.4   Спеціальні класи поверхонь.

 

4.4.1   Поверхш обертання.

Розглянемо на площині Oxz криву L, що задана параметрично:

{ x = fl(t), z = f2(t).

Будемо обертати площину, в якій розташована крива L, навколо осі Oz. Крива L утворить поверхню, яка називається поверхнею обертання (рис. 99). Зауважимо, що коли крива L перетинає вісь Oz, то на поверхні можуть бути особливі точки, в яких немає дотичної площини.Знайдемо рівняння поверхні обертання. Довільна точка P кривої L при повороті на кут ф займе положення P(ф) (при обертанні площини, в якій лежить крива L, точка P змалює коло). Нехай точки P, P(ф)

основи перпендикулярів, що опущені з точок P, P(ф), відповідно, на площину Oxy (рис. 100). Якщо (fi(t), 0, f2(t)) координати точки P, то (fi(t), 0, 0), (fi(t)cos фДіЦ)втф, 0) — координати точок P, P(ф), від­повідно. Тоді (f1(t) cos ф, f1(t) sin ф, f2(t)) координати довільної точки P(ф) поверхні. Таким чином, параметричні рівняння поверхні обертан­ня:

x = fi(t) cos ф, y = fi(t) sin ф,

Z = f2(t).

Розглянемо координатні лінії на поверхні обертання: меридіани ф = const

образи кривої L при повороті площини, в якій вона лежить; t = const

кола, що лежать в перерізі поверхні площинами z = const.

 

Приклади.

1.  Нехай L півколо на площині Oxz радіуса R з центром на початку координат:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія