О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 4

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

х =---------- ,   у =           ,     z =              .

2                      2 2

 

1.3   Паралельний перенос.

Введемо на площині декартові координати х, у. Перетворення при якому довільна точка (х,у) переходить у точку + а, у + 6), де а іЬ сталі, називається паралельним переносом. Паралельний перенос за­дається формулами = х + а, у' = у + 6, де (х1', у1) координати точки, в яку переходить точка (х, у) при паралельному переносі. Паралельний перенос точки А в точку А' будемо позначати так: А —> А'.

Властивості паралельного переносу.

1.  Паралельний перенос зберігає відстань між відповідними точками. Дійсно, нехай А —>• А', В>• В' і нехай А\,уі), £>(ж2,у2).

Тоді

А'(х\ + а,     +       В'(х2 + а, у2 + Ь)

і

\А'В'\2 = {Х2 - Хі)2 + (У2 - уі)2 = \АВ\2.

2.  При паралельному переносі точки пересуваються по паралельних прямих на одну і ту ж відстань.

Дійсно, нехай А А', В ->• В', А\,уі), Б(ж2,Ы, тоді А'(х\+а, уі+Ь), В'(х2 + а, у2 + Ь).

Розглянемо випадок, коли чотирикутник АА'В'В не вироджується у відрізок (рис. 7.) Середина відрізка АВ' має координати

х\ + Х2 + а            Уі+У2 + Ь

х =                 ,   у =                   .

2       '   у 2

Ті ж координати має і середина відрізка А1 В, тому діагоналі чо­тирикутника АА'В'В перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Звідси АА'В'В паралелограм. Отже, відрізки АА', ВВ' паралельні і рівні, що і доводить дане твердження.

3.  Зазначимо, що АВ і А'В' також паралельні. Отже, має місце на­ступна властивість.При паралельному переносі кожна пряма переходить в паралельну пряму.

Вправа. Довести властивості 2, 3 у випадку виродження чотири­кутника AA'B'B у відрізок.

4.  Які б не були дві точки A i A' існує, i притому єдиний, паралельний перенос, при якому точка A переходить в точку A .

Доведення. Доведемо існування. Нехай A(a,b), A'(a',b''). Пара­лельний перенос, що задається формулами x' = x + a1 a, y' = = y + b' b, переводить точку A в A'.

Доведемо єдиність. Припустимо, що паралельний перенос x' = x+a, y' = y + в, також переводить точку A(a,b) в точку A'(a',b'). Тоді a' = a + a, b' = b + в, звідки a = a' a, в = b' b, і єдиність доведена.

 

Перетворення f називається тотожним (позначається через id), коли f (A) = A для будь-якої точки A площини.

Композицією двох відображень f і g (позначається через g о f) пло­щини на себе, називається послідовне виконання двох перетворень: (g о f )(A)= g(f (A)).

Нехай f відображення площини на себе. Оберненим відображен­ням (позначається через f-1) називається таке відображення, що f-1 о f = id.

5.  Композиція двох паралельних переносів є паралельний перенос.

6.  Тотожне перетворення є паралельний перенос.

7.  Перетворення, обернене до паралельного переносу, є паралельний перенос.

8.  Композиція паралельних переносів (як взагалі композиція перетво­рень) підкоряється асоціативному закону, тобто (f og)oh = f o(goh) для будь-яких паралельних переносів f,g,h.

9.  Якщо f,g паралельні переноси, то g о f = f о g.

Властивість 9 означає, що композиція паралельних переносів ко­мутативна.

Вправа. Довести властивості 5, 6, 8, 9.Паралельним переносом в просторі називається таке перетворення, при якому довільна точка (x, y, z) переходить в точку (x+a, y+b, z+c), де a,b,c сталі. Паралельний перенос в просторі задається фор­мулами x = x + a, y = y + b, z = z + c.

Властивості паралельного переносу в просторі доводяться так са­мо, як і на площині. Новою для паралельного переносу в просторі є властивість

10. При паралельному переносі в просторі кожна площина переходить або в себе, або в паралельну їй площину.

Вправи.

1.  Довести властивість 10.

2.  Нехай A1A2A3A4 довільний чотирикутник; Bi,B2 середини его діагоналей. Довести, що |A1A2|2 + \A2A3\2 + \A3A4\2 + \A4A1\2 = = \AiA3\2 + A2A4P + 4\BiB2\2.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія