О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 40

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

x = R cos t, z = R sin t, -1 < t < f.

 

Тоді поверхня обертання сфера, її рівняння:

 

x = R cos t cos ф, y = R cos t sin ф, <      z = R sin t, —n < t < n 0 < ф< 2n.

2.  Нехай L пряма, що паралельна осі Oz і знаходиться на віддалі R від неї:

x = R, z = t, —ж < t < +оо.

 

Тоді поверхня обертання прямий круговий циліндр, його рівнян­ня:

x = R cos ф, y = R sin ф, z = t, —оо < t < +оо, 0 < ф< 2п.

Вправи.

1.  Написати рівняння поверхні, яка одержується при обертанні навко­ло осі Oz прямої, що проходить через початок координат і утворює кут ф з віссю Ox.

2.  Написати рівняння поверхні, яка одержується при обертанні нав­коло осі Oz кола радіуса R з центром в точці (a, 0,0), a > R, що лежить в площині Oxz. Перейти від параметричного задання по­верхні до неявного.

 

4.4.2   Циліндричні поверхні.

Нехай в просторі задано деяку криву L і пряму l. Поверхня, що утво­рена прямими, які проходять через точки кривої L паралельно прямій l, називається циліндричною.

Крива L називається напрямною. Прямі, які паралельні прямій l, називаються твірними циліндричної поверхні.

Не втрачаючи загальності, можна вважати криву L плоскою, оскіль­ки завжди напрямною можна взяти криву, що лежить в площині, яка перетинає циліндр під прямим кутом до твірної.

Нехай крива L лежить в площині Oxy і задана неявно:

F (x,y) = 0 (4.3)

Нехай напрямний вектор a прямої l не паралельний площині Oxy, тобто a3 = 0. Можна вважати, що a3 = 1 і a = (a1, a2,1). Нехай P(x0,y0) довільна точка кривої L, тобто координати точки P задовольняють рівнянню (4.3):

F (xo,yo) = 0 (4.4) Рівняння прямої, яка паралельна прямій l і проходить через точку

P:

{

x = x0 + ta1, y = yo + ta2, z = t, —о < t < .Виразимо хо, Уо через х, у, z:

 

хо = х a z

уо = у - a2z.

 

Підставимо одержані вирази для хо і Уо в рівності (4.4), одержимо неявне рівняння циліндричної поверхні:

 

F(x alz, у a2z) = 0.

 

Нехай напрямна крива L задана параметрично: г = г (і), а напрям­ний вектор твірних циліндричної поверхні. Тоді параметричне задання циліндричної поверхні

 

R(t,u) = r(t) + ua (—оо < и < +oo) (рис.101).
4.4.3   Конічні поверхні.

Нехай L деяка крива у просторі, О фіксована точка.

Поверхня, яка утворена прямими, що проходять через точку О і то­чки кривої L, називається конічною.

Крива L називається напрямною. Прямі, що проходять через точки L і точку О твірними, точка О вершиною конуса.

Запишемо рівняння конічної поверхні, якщо L лежить в площині z = 1, а вершина конуса О розташована на початку координат. Рівняння кривої L:
(4.5)Нехай точка Р(хо,уо, zo) лежить на кривій L, координати точки Р задовольняють рівнянню (4.5), тобтоF(x0,yo) = 0, zo = 1.


(4.6)Рівняння прямої, що проходить через точки 0(0,0,0) і Р(хо,Уо, Zo):

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія