О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 41

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

X Xcjtj

У = yot, z = t.

Отже,Хо

Уо


УПідставимо в рівняння (4.6) вирази для Хо,Уо, одержимо неявне рівнян­ня конічної поверхні:

F(5 *)=<>.

Z Z

Вправа. Написати рівняння конуса, вершина якого не співпадає з початком координат.

РжЖ

 

Вираз F(x, у, z) = 0 називається однорідним порядку т, якщо

F(tx,ty,tz) = tmF(x,y,z). Функція F(|, |) = 0 — однорідна порядку 0.

Справедливе обернене твердження: якщо ліва частина рівняння F(x, y,z) = 0 однорідна, то рівняння визначає конус.Дійсно, розглянемо рівняння F(x, y, z) = 0, причому F(tx, ty, tz) = = tmF (x,y,z).

Нехай точка P(xo,yo,Zo) задовольняє рівнянню F(x,y,z) = 0. Точка P\(tx0,ty0,tz0), що лежить на прямій, яка проходить через точки P i О(0, 0, 0), також задовольняє рівнянню F(x,y,z) =0 з огляду на одно­рідність F. Отже, рівняння F(x, y,z) = 0 задає конус з вершиною на початку координат.

Нехай напрямна конуса L задана параметрично r = r(t), точка A(r0) вершина конуса, R радіус-вектор довільної точки конуса. Тоді R—r0 = = u(r(t) rо) (рис. 102) і параметричне рівняння конічної поверхні

 

R(t, u) = rо + u(r(t) rо).

Якщо вершина конуса розташована на початку координат, то rо = 0 і останнє рівняння набуде вигляду

 

R(t, u) = ur(t).Розділ 5

 

Криві i поверхні 2-го порядку

 

 

 

В прямокутній декартовій системі координат рівняння будь-якої пря­мої на площині лінійне, тобто має вигляд

ax + by + c = 0,  a2 + b2 = 0,

рівняння будь-якої площини у просторі також лінійне, тобто має вигляд

ax + by + cz + d = 0,  a2 + b2 + c2 = 0.

Рівняння прямої на площині (площини у просторі) лінійні в будь-якій декартовій системі координат, оскільки формули переходу від однієї си­стеми координат до другої лінійні. В криволінійній системі координат вигляд рівнянь прямої і площини інший. Наприклад, рівняння прямої в полярній системі координат має вигляд р cos(tp фо) + h = 0, нелінійне відносно ф. Перейдемо до вивчення кривих і поверхонь 2-го порядку, які будемо розглядати як геометричні місця точок на площині або в про­сторі, координати яких в декартовій системі координат задовольняють рівнянню другого порядку. А саме, загальне рівняння кривої другого порядку має вигляд

anx2 + 2ai2xy + a22y2 + 2ai3x + 2a23y + a33 = 0,

де aij= 1, 2, 3) — довільні дійсні числа і a21 + a12 +      = 0.

Загальне рівняння поверхні 2-го порядку має вигляд

aiix2+2ai2xy+2ai3xz+a22y2+2a23yz+a33z2+2ai4x+2a24y+2a34z+a44 = 0,

Тут aij= 1,..., 4) — довільні дійсні числа і

ai2i + ai22 + ai23 + a222 + a223 + a323 = При переході від однієї декартової системи координат до другої, ко­ординати точок змінюються лінійно. Тому рівняння 2-го порядку перехо­дить в рівняння не вище 2-го порядку. Але оскільки воно в одній системі координат є суттєво квадратним, то воно квадратне в будь-якій системі координат. Таким чином, визначення кривої і поверхні другого порядку не залежить від вибору декартової системи координат.

У подальшому будемо вважати, що на площині або в просторі задана прямокутна система координат.

 

5.1   Канонічні рівняння кривої 2-го порядку.

5.1.1 Еліпс.

Розглянемо криву, що задана неявно рівнянням

2 2

% + = 1, де а > 0,6 > 0, а/0, 6/0. (5.1) аг ог

Ця крива називається еліпсом, а рівняння (5.1) — канонічним рівнян­ням еліпса.

Зауважимо, що коли а = 6, рівняння (5.1) задає коло з центром на початку координат з радіусом а.

Точки Р, Q, що лежать відносно прямої І в різних півплощинах, си­метричні відносно прямої І, якщо PQ _І_ І і \РО\ = \OQ\ (рис. 103).

Точки Р, Q симетричні відносно точки О, коли \РО\ = \OQ\, точки Р, О, Q на одній прямій і О лежить між Р і Q (рис. 104).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія