О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 42

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

ь

 

Q

РисШ

о              а х*

РисШ

 

Пряма І є вісь симетрії деякої кривої, якщо при осьовій симетрії відносно прямої І крива переходить у себе.

Точка О є центр симетрії деякої кривої, якщо при центральній си­метрії відносно точки О крива переходить у себе.Повернемося до кривої, що задана рівнянням (5.1). Якщо рівнян­ню (5.1) задовольняють координати точки А(х,у), то йому задовольня­ють і координати точок А'(х, —у), А"(—х, у), А"'(—х, —у). Отже, х,у є осі симетрії кривої, що задана рівнянням (5.1), а точка 0(0,0) є центр си­метрії кривої. Тому досить побудувати частину кривої, що розташована в першому квадраті, і ми будемо мати уявлення про форму кривої.

Знайдемо точку перетину кривої з осями координат: у = 0, х = ±а, х = 0, у = ±Ь. З рівняння (5.1) випливає, що \х\ ^ а, \у\ ^ b (рис. 105). Параметри а і Ь називаються півосями еліпса.

 

Перетворення площини. Стискання (розтягування).

Розглянемо перетворення площини, при яких точка Р(х,у) перехо­дить у точку Р'(х', у'), причому = ах, у1 = by, де а > 0, b > 0.

Це перетворення називається перетворенням стискання (розтягуван­ня) вздовж координатних осей і є окремим випадком афінних перетво­рень, які будуть вивчатися далі.

Якщо а = Ь, то перетворення площини називається гомотетією.

0             г                 .. і х = a\t + b\

Знайдемо образ прямої <            ,    .    при перетворенні стискання.

і У = a2t + &2

Г       = (їх

У формули < , _ підставимо х = a\t + Ъ\, у = a^t + 62 і одер­жимо знову рівняння прямої. Отже, при стисканні (розтягуванні) пряма переходить в пряму.

Довести самостійно, що при стисканні (розтягуванні) відрізок АВ переходить у відрізок А'В', де А' образ А, В' образ В.ретворенні стискання. З формул І    , _ ,     знаходимо х = ^,  У = \


Повернемося до еліпса. Знайдемо образ кола х2 + у2 = 1 при пе-

= ах у1 = byпідставимо одержані значення х,у в рівняння кола, після чого одержимо

 

 

а2 Ь2

Знаючи, що еліпс одержується при стисканні (розтягуванні) кола, його легко намалювати (рис. 106).

Доведемо, що внутрішність еліпса опукла множина. Доведемо спо­чатку, що круг х2 + у2 ^ 1 опукла множина. Нехай точки Р\, Р2 на­лежать кругу. Тоді відрізок Р\Р2 також належить кругу. Це випливає з того, що із всіх відрізків, що з'єднують вершину О (центр круга) з точками основи Р1Р2 трикутника ОР\Р2 найбільшу довжину має одна з бокових сторін трикутника (для доведення останього твердження досить опустити з точки О висоту ОН) (рис. 107).
Внутрішність еліпса образ внутрішності круга при перетворенні стискання. Але при стисканні відрізок переходить у відрізок. Тому вну­трішність еліпса опукла множина.

Еліпс опукла крива.

Розглянемо різні способи задання еліпса:

У = Ьу/1-% верхній півплощині;

У = -ь<

-1 = 0 — неявне задання еліпса;

явне задання частини еліпса, що розташована у

 

явне задання частини еліпса, що розташована у

у = о sin і

, 0 ^ t ^ 2-7Г параметричне задання еліпса.

 

Окремим випадком еліпса є коло; це крива 2-го порядку, її канонічне рівняння х2 + у2 = а2. З іншого боку, коло геометричне місце точок, відстань яких від фіксованої точки є величина стала і дорівнює а > 0).Знайдемо геометричне місце точок, сума відстаней до двох фіксова­них точок F\, F2 є величина стала і дорівнює 2а.


Нехай на площині введена прямокутна декартова система координат так, що Fi(—с, 0), F2(c, 0), де с > 0 (рис. 108).

Сума відстаней довільної точки М(х,у) від точок F\, F2 не може бути менша за відстань між точками F\, F2. Ця сума дорівнює відстані між F\, F2 (тобто а = с) тоді і тільки тоді, коли точка М знаходиться на відрізку F\F2. Отже, геометричне місце точок, сума відстаней від яких до двох фіксованих точок F\, F2 є величина стала і дорівнює 2с, є відрізок FiF2.

Нехай > 2с, тобто а > с. Точка М(х, у) належить шуканому гео­метричному місцю точок в тому і тільки тому випадку, коли

у/(х + с)2 + у2 + у/(х - с)2 + у2 = 2а.                          (5.2)

Спростимо одержане рівняння:

+ с)2 + у2 = 4а2 - 4ал/(х - с)2 +у2 + - с)2 + у2,           (5.3)

а\/ с)2 + у2 = а2 сх,                             (5.4)

2  2     о 2       ,22,22        4о2       ,22 /гг\

ах сх + а с + а у = а сх + с х , (5.5) (а2 - с2)х2 + а2у2 = а2(а2 - с2). (5.6) Позначимо через 6 величину л/а2 — с2 (а2 с2 > 0). Одержимо

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія