О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 43

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

62ж2 + а2у2 = а2 б2,

 

або

(5.7)Ми довели, що з рівняння (5.2) випливає (5.7). Доведемо, що форму­ла (5.2) — наслідок рівності (5.7). Тим самим доведено, що вирази (5.2) i (5.7) еквiвалентнi, тобто шукане геометричне місце точок єліпс.

Нехай x, y два числа, для яких виконується рівність (5.7). Вико­нуючи попередні викладки у зворотньому порядку, одержимо із рівно­сті (5.7) спочатку рівність (5.6), потім (5.5), яку запишемо у вигляді

a2[(x - c)2 + y2] = (a2 - ex)2.

Добуваючи корінь з обох частин цієї рівності, одержимо

a\J (x c)2 + y2 = \a2 cx\,

Але на підставі (5.7) \x\ ^ a і c < a. Отже, \cx\ < a2, a2 ex > 0 і \a2 cx\ = a2 ex. Так ми приходимо до рівності (5.4), потім одержимо рівняння (5.3) і запишемо його у вигляді

(x + c)2 + y2 = [2a —у1 (x c)2 + y2]2,

звідси

\J(x + c)2 + y2 = \2a \J (x c)2 + y2\.

Розглянемо величину (x c)2 + y2 = x2 2cx+c2+y2. З огляду на (5.7) x2 ^ a2, y2 ^ b2, тобто y2 ^ a2 c2, або c2 + y2 ^ a2, далі \cx\ < a2, тому \2cx\ < 2a2. Отже, (x c)2 + y2 < 4a2. Тому

\J(x + c)2 + y2 = 2a \J (x c)2 + y2.

Звідси зразу випливає рівність (5.2).

Має місце і обернене твердження: кожен еліпс має ту властивість, що сума відстаней від будь-якої його точки до деяких двох фіксованих точок, які називаються фокусами, є величина стала. Ця властивість на­зивається фокальною.

Дійсно, нехай

x2 + y2 = 1, a>b, (5.8) a2 b2

рівняння довільного еліпса; F\, F2 точки з координатами відповід­но (—\/a2 b2, 0), (\/a2 b2, 0). Геометричне місце точок, сума відстаней яких до точок Fi, F2 дорівнює 2a, задається рівнянням (5.8), тобто спів­падає з розглянутим еліпсом.

Розглянемо множину еліпсів, що задані рівнянням

x2 y2

a2 b21. Нехай h > 0, тоді останнє рівняння можна записати так:

x2     +7г4^ = 1. (5.9)

(aVh)2 (bVh)2

 

Півосі еліпса, заданого рівнянням (5.9) при фіксованому h, суть a' = aVh, b = b\/h. Еліпси (5.9) гомотетичні і одержуються один з другого за допомогою перетворення гомотетії з центром на початку координат.

Приклад. Нехай P'(x', y') точка, в яку переходить точка P(x, y) при гомотетії

{ x = ^ (5.10)

Знайдемо образ кривої, заданої рівнянням (5.1) при гомотетії (5.10): x = , y = . Підставимо вирази для x, y у рівняння (5.1) і одер­жимо (5.9).

2.  Нехай h = 0. Тоді одержимо рівняння

 

a2 + b2 ^

яке задає єдину точку.

3.  Нехай h < 0, зокрема h = —1. Одержимо рівняння

x2 + y! = ^ a2 b2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія