О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 44

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

яке задає порожню множину.

 

5.1.2 Гіпербола.

Розглянемо геометричне місце точок, що задовольняють рівнянню xy = 1 (рис. 109), або

y = x (5.11)

Нехай система координат Ox'y' одержується із системи Oxy за допо­могою повороту останьої на кут ф (рис. 109). Тоді

і x = x' cos ф y' sin ф, \ y = x' sin ф + y' cos ф.Якщо <р> = j, формула набуде вигляду

Г х = А^(х' -у'),

1 у = ^х' + у')-

Підставивши останній вираз у (5.11), одержимо

{Xі?      {уг = 1

2 2

Розглянемо криву, що задана рівнянням 4.


 

 

 

 

 

 

(5.12)

а"

У_ Ь2

Ця крива називається гіперболою.


= 1,


(5.13)а х>

Якщо а = Ь, гіпербола називається рівнобічною.

Крива (5.13) при перетворенні стискання (розтягування) х = ^

У = -^у' перейде у криву (5.12).

Таким чином, крива (5.13) —деформована рівнобічна гіпербола. Точ­ка О(0, 0) — центр симетрії кривої, оскільки якщо рівнянню (5.13) задо­вольняє точка (х,у), то йому задовольняє точка (—х,—у), Ох і Оу осі симетрії кривої, оскільки якщо рівнянню (5.13) задовольняє точка (х,у), то йому задовольняють точки (х, —у) і (—х,у). З формули (5.13)

2

випливає, що ^2 ^ 1, тобто \х\ ^ а > 0), і якщо у = 0, то х = ±а (рис. 110).

 

у

Рівнобічнг/гіпербопа

\

 

 

 

 

( Х

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.ПО

 

„                                       [ жи > 1, „

Доведемо, що множина < ^ > о опукла. З курсу математично­го аналізу відомо, що функція у = f(x) опукла (у внутрішній точці{х?_ _ а2 Ь2 X >

області визначення), коли /" > 0 (в цій точці). У нашому випадку у = -, у" = оскільки х > 0, у" > 0 і функція у = ^ опукла. При стискан­ні (розтягуванні)опуклість зберігається, тому множина опукла.

 

5. Розглянемо інші приклади кривих другого порядку.

2 2

Рівняння ^2 fr = 0 задає пару прямих оскільки його можна записа­ти ~ І) + І) = °! f ~ І = °> а +1 = 0 Діагоналі прямокутника (рис. 111).

Діагоналі прямокутника (див. рис. 111) розбивають площину на чо­тири області:

в областях 1, 3 виконується (| f) (f + f) > 0, в областях 2, 4 виконується (| _ |) (f + |) < 0.

Отже, враховуючи, що \х\ ^ а, вітка гіперболи (5.13) лежить у за­штрихованій області (рис. 111).

Рис

 

Пряма І називається асимптотою кривої 7, якщо відстань від точки Р кривої 7 до прямої І прямує до нуля при віддаленні точки у нескін­ченність.

Доведемо, що прямі у = ±^х асимптоти гіперболи (5.13). Вра­ховуючи симетрію, досить розглянути вітку гіперболи, що розташова­на у 1-му квадраті, і довести, що пряма у\ = асимптота кривої у = \\/х2 - а2,

Ь      Ь  r-z---- г ab

уі-у = -х- -Vх2 - а2 =               ;

а      а            х + ухг сг

lim (yi -у) = 0.

Звідси випливає, що пряма у = асимптота кривої у = \л/х2 а2 і крива лежить під прямою (рис. 112).
Розглянемо сімейство гіперболх2 у2

= h.

а2 Ь2

1. Нехай h > 0, останнє рівняння можна записати так:


(5.14)(aVh)2 (bVh)2


= 1.Одержали сімейство гіпербол, півосі яких змінюються зі зміною h, а асимптоти не змінюються (рис. 113).
2. Нехай h < 0, рівняння (5.14) запишемо так:= 1.

 

У'

(bV^h)2 (aV^h)2 Одержали сімейство гіпербол, що лежать в областях 2, 4 (рисі 11, 114)Дві гіперболи, що визначаються умовами

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія