О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 45

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

*L 4- VA 1 'а? "Г" Ь2 - J-в одній і тій же системі координат і при одних і тих же значеннях а, 6, називаються спряженими одна до другої.
Дві гіперболи з різними значеннями h не перетинаються. Якщо h змінюється від оо до +00, то гіперболи і асимптоти покривають всю площину один раз.

Розглянемо різні способи задання гіперболи:з- —     — 1 = 0 — неявне задання гіперболи;х = §\/о2 + у2 явне задання правої вітки гіперболи (5.13); х = —%\/Ь2 + у2 явне задання лівої вітки гіперболи (5.13); х = a ch t

у    bsht   ' ~°° ^ ^ ^       — параметричне рівняння правої вітки гіперболи.

Еліпс складається з однієї зв'язної компоненти. Гіпербола складає­ться з двох зв'язних компонент, і кожна зв'язна компонента гіперболи задається явно.

Гіпербола має геометричну властивість, подібну геометричній вла­стивості еліпса. А саме, геометричним місцем точок, для яких модуль різниці відстаней від двох фіксованих точок площини, що називаються фокусами, величина стала і рівна 2а, є гіпербола.

Довести самостійно.

Гіпербола має фокальну властивість, аналогічну фокальній власти­вості еліпса.

 

5.1.3 Парабола.

Розглянемо геометричне місце точок, координати яких задовольня­ють рівнянню 2-го порядку:

6.

,2

уг = 2рх. (5.15)

Крива у = х2 нам добре відома, її називають параболою, х = ^ та­кож парабола, у2 = 2рх, р > 0 (рис. 115), крива однозначно проектуєтьсяна вісь Оу.


Самостійно довести, що множина точок, координати яких задоволь­няють нерівності у2 2рх < 0, опукла.

Якщо р змінюється від 0 до +оо, то параболи покривають півплощину х > 0, крім додатньої півосі абсцис.

Парабола у2 = 2рх, р > 0, одержується з параболи у2 = х шляхом стискання (розтягування) відносно осі Ох. Рівняння (5.15) задає пара­болу явно. Ох вісь симетрії параболи (5.15).

Вправа. Знайти геометричне місце точок, координати яких задо­вольняють рівнянням

7.  х2 -1 = 0;

8.  х2 + 1 = 0;

9.  х2 = 0.

 

5.2   Канонічні рівняння поверхонь 2-го порядку.

 

Розглянемо сімейство поверхонь

х2 у2 Z2 а2     Ь2 с2

1. Нехай h = 1,

х2     у2 Z2

^ + -тг Но = 1 — рівняння еліпсоїда. (5.16) сг     ог сг

 

Точка О(0, 0, 0) центр симетрії поверхні, оскільки якщо точка Р(х, у, лежить на поверхні (5.16), то і точка Р'(—х, —у, —z) лежить на поверх­ні (5.16).Площини x = 0, y = 0, z = 0 є площинами симетрії поверхні, оскільки якщо точка P(x, y, z) належить поверхні, то i точки P'(—x, y, z), P"(x, —y,z), P"'(x,y, —z) належать поверхш.

Is рівняння (5.16) випливає, що \x\ < a,  \y\ < b,  \z\ < c (a, b, c> 0).

Якщо a = b = c = R, то (5.16) — рівняння сфери радіуса R s центром на початку координат.

Розглянемо сферу радіуса 1 з центром на початку координат, задану рівнянням

x2 + y2 + z2 = 1, (5.17) і перетворення стискання простору відносно координатних площин

x     = ax,

y = by,

z' = cz.

Після такого перетворення сфера (5.17) перейде в еліпсоїд (5.16). Розглянемо переріз поверхні (5.16) площиною z = 0, отримуємо

2 2

^2 + р- = 1, z = 0 еліпс, півосі якого a, b.

Самостійно розглянути переріз еліпсоїда (5.16) площинами x = 0, y = 0. Вісь Ox перетинає еліпсоїд в точках (a, 0, 0), (—a, 0, 0); вісь Oy в точках (0, b, 0), (0, —b, 0); вісь Oz в точках (0, 0, c), (0, 0, c).

 

Вправа. Довести, що множина точок, координати яких задовольня­ють нерівності

x2 + у2 + z2 < і a2     b2 c2

опукла.

Вказівка. Скористатися тим, що еліпсоїд образ сфери при стискан­ні простору.

Розглянемо переріз еліпсоїда площиною, паралельною координатній площині Oxy:

{

zl + vl +     = i a2 + b2 + c2 = 1, z = p.

Звідси

f  Z2 + У2 = 1 _ P2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія