О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 46

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

I    a2 + b2 = 1      c2 , (5.18)

I           z = 0.

рівняння ортогональної проекції перерізу на площину Oxy, в да­ному випадку проекція перерізу і сам переріз суміщаються паралельним переносом. В загальному випадку це невірно.Приклад. Розглянемо переріз еліпсоїда (5.16) площиноюх у

---- Ь — +

а2 б2

x+y+z­


= 1,

 

1 = Рівняння ортогональної проекції перерізу на площину Оху суть його

-2   .   II2   і   {1-х—у)2 п 73

проекції -j

+ fj + v" ~2 = 1, z = 0. Переріз і проекція його не сумі­щаються рухом у просторі. Це зв'язано з тим, що площина перерізу не паралельна координатній площині Оху.

Повернемося до рівнянь (5.18). Якщо \р\ > с, то нема точок, коор­динати яких задовольняли б рівнянням (5.18). Якщо \р\ = с, то рівнян­ням (5.18) задовольняють координати точки 0(0,0,0). Якщо \р\ < с, то рівняння (5.18) описують сімейство гомотетичних еліпсів+
Ь\ 1максимальні півосі яких дорівнюють а, Ъ при р = 0 (рис. 116)
Якщо а = Ь, то рівняння (5.18) описує еліпсоїд обертання

аг + у zz аг сгоскільки площини z = р перерізають цей еліпсоїд по колах. Еліпсоїд

2 +    2 2                                                                           Г            +    =— 1

+y + _ = 1 одержується при обертаннi дуги еліпса <   а2     с2       , ,
а       c                                                                         [ y = 0,  x ^ 0

навколо осі Oz.

Нагадаємо, що коли поверхня одержується за допомогою обертання

.. f x = fi(t)                        . ~

кривої z f (t) , навколо осі Oz, то рівняння поверхні можна запи­сати так:

{

x = fi(t) cos ф, y = fi(t) sinф, z = f2(t), 0 < ф < 2п.

Параметричне задання дуги еліпса записується у вигляді

 

x = a cos t,

У = 0, z = c sin t,

- f < t < f.

Звідси одержуємо параметричне задання еліпсоїда обертання:

x = a cos t cos ф, y = a cos t sin ф, z = c sin t, -f < t < f,  0 < ф < 2n.

Параметричне задання довільного еліпсоїда має слідуючий вигляд:

x = a cos t cos ф, y = b cos t sin ф, z = c sin t, -f < t < f,  0 < ф < 2n.

Топологічна будова еліпсоїда: еліпсоїд гомеоморфний сфері. Гомео­морфізм можна задати так: оскільки еліпсоїд опукле тіло, то кожен промінь, що виходить з його центра, перетинає його в одній точці. Роз­глянемо сферу з тим же центром. Промінь, що виходить із центра, пере­тинає сферу в точці P, а еліпсоїд в точці P1. Точки P і P1 поставимо у відповідність одна одній. Ця відповідність буде взаємо однозначною і неперервною в обидві сторони. Можна задати гомеоморфізм по-іншому: розглянути параметричне задання еліпсоїда та сфери, поставити у від­повідність точки з однаковими значеннями параметрів t, ф.2. Нехай h = 0. Рівнянню

x2 + у2 + z2 = о a2    b2 c2

задовольняє тільки точка О(0, 0, 0).

 

3. Нехай h = —1. Не існує дійсних точок, що задовольняють рівнянню

 

x2    у2 х2

---- + — +-- = —1.

a2    b2 c2

 

2      2 2

При h > 0, рівняння ^2 + fj + ~s = h описує сімейство гомотетичних еліпсоїдів, півосі яких a' = aVh, bb = b\[h, cC = cVh при h 0 стягую­ться в точку. Якщо h змінюється від 0 до +оо, то еліпсоїди покривають весь простір, тобто через одну точку простору проходить один еліпсоїд сімейства.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія