О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 47

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

Розглянемо сімейство поверхонь

 

x2    у2 х2

a + b2 С2 = h (a,b,C> 0).

 

4. Нехай h = 1:

4 + S 4 = 1 (5.19) a2    b2 c2

 

рівняння однопорожнистого гіперболоїда.

 

Координатні площини є площини симетрії поверхні однопорожнисто­го гіперболоїда.

Застосуємо метод перерізів для з'ясування форми поверхні.

Розглянемо переріз поверхні (5.19) площинами, паралельними Оху, тобто площинами х = р (оскільки Оху площина симетрії поверхні (5.18), то можна розглянути лише випадок, коли р ^ 0):

f

x2 + _ f2 = і а2 + b2       c2 = 1, х = р.

 

+ у2 = і + PL

а2 + b2 = 1 + c2 ,

х=0 ортогональна проекція перерізу на площину Оху; ці системи рівнянь описують сімейства гомететичних еліпсів

 

= 1,

 

 

Z = 0, півосі яких

 

 

 

мінімальні півосі дорівнюють а, Ъ при р = 0, при р —> +оо   а/, У —> +оо (рис. 117).

Розглянемо перерізи поверхні (5.19) площинами у = р ^ 0) (рис. 118)
Ч = 1 у = 0


ь2 рівняння ортогональної проекції перерізу на площину Oxz, ці рівняння описують сімейство гіпербол з однаковими асимптотами.

Якщо 0 ^ р < Ь, то гіперболи сімейства розташовані в областях 1, 3.

Якщо р = Ь, то останні рівняння описують пару прямих асимптот.

Якщо р > Ь, то гіперболи сімейства розташовані в області 2, 4 (рис. 119)

Таким чином, перерізом поверхні (5.19) площиною у = 0 є гіпербола. Перетинаючи поверхню (5.19) площинами у = р ^ 0) і збільшуючи поступово р, бачимо, що в перерізі лежать гіперболи, доки р < Ь. Якщо р = Ь, то в перерізі лежать дві прямі, що перетинаються, якщо р > Ь, то в перерізі знову гіперболи.

Якщо обертати навколо осі Oz вітку гіперболито одержимо однопорожнистий гіперболоїд обертання

х2 + у2     Z2 ^ а2 с2

Запишемо параметричні задання правої вітки гіперболи:

 

х = achi,

У = 0, z = cshi,

-оо < І < +00.

Звідси можна одержати параметричне задання однопорожнистого гі­перболоїда обертання:

х = achi cost/?, у = achi simp, z = cshi, -оо < і < +00,  0 ^ <p> < 2ir.

Таким чином, можна одержати наступне параметричне задання до­вільного однопорожнистого гіперболоїда:

х = achi cost/?, у = bcht simp, z = cshi, -оо < і < +00,  0 ^ <p> < 2ir.

 

5. Нехай h = 0,

 

 

рівняння конуса.Якщо координати точки Ро(x0,y0, zo), xQ+yQ+zQ > 0 задовольняють рівнянню (5.20), то координати точки Р0(tx0,ty0,tz0) також задовольня­ють рівнянню (5.20). Але

x txo, y tyo, z tzo,

суть параметричнi рівняння прямої, що проходить через початок коор­динат. Тому, якщо точка Ро належить поверхні, то пряма, що проходить через точки О(0, 0, 0) i P0(x0,y0, z0), належить поверхш. Пєрєріз поверхш (5.20) площиною z c є єліпс:

 

- + y- — 1 z c a2 + b2 z C.

Провівши всі прямі, що з'єднують початок координат з точками елі­пса одержимо конус (5.20), переріз площиною y — 0 є прямі

x2 z2

- — 0,  y — 0. a2 c2

Якщо обертати пряму

x at, z ct, —oo < t < +oo,

навколо осі Oz, то одержимо конус обертання, його параметричні рівнян­ня:

x at cos ф, y at sin ф, z ct,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія