О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 48

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

—oo <t < +oo,  0 ^ ф < 2n.

Запишемо параметричні рівняння довільного конуса, заданого в ка­нонічному вигляді, тобто у вигляді (5.20):

x at cos ф, y bt sin ф, z ct,

—oo <t < +oo,  0 ^ ф < 2n.

2       2 2

Однопорожнистий гіперболоїд     + 1^       1 зв'язаний з кону-

222

сом     + fj      — 0 так, як гіпербола зв'язана із своїми асимптотами,тобто при прямуванні на нескінченність відстань між точками однопоро­жнистого гіперболоїда і конусом прямує до нуля, тому конус називають асимптотичним.

Площина z = 0 є площиною симетрії конуса і однопорожнистого гі­перболоїда, тому досить вести розгляд у півпросторі z ^ 0. Але коли z ^ 0, то однопорожнистий гіперболоїд і конус можна задати явно:

 

z =       + F -1  z = І* + ¥

Самостійно довести, що

 

lim       + Та - 1 - c\r~2 + С) =0-
у2^+ос\ V а2    Ь2          V а2    Ь2 J

 

Сімейство поверхонь, що задано рівнянням

 

Х        1 z

а2    Ь2 c2

є сімейство однопорожнистих гіперболоїдів з одним і тим же асимптоти­чним конусом. При h 0 еліпси, що лежать в перерізах однопорожни-стих гіперболоїдів площиною z = 0, стягується і при h = 0 перетворюю­ться в точку, і ми одержимо асимптотичний конус.

 

6. Нехай h = —1,

Х2 + С - 4 = -1 (5.21) а2    Ь2 c2

рівняння двопорожнистого гіперболоїда.

 

Поверхня симетрична відносно координатних площин. Розглянемо переріз поверхні площиною z = р, ортогональна проекція перерізу на площину Oxy має рівняння

( X2 + £_ =   і + it

I   a2 + b2 =    1 + c2 ' (5.22)

1            z = 0.

 

Якщо -c < р < c, то рівняння (5.22) задають порожню множину. Отже, в області -c < z < c нема точок поверхні (5.21). Якщо \р\ = с, то рівняння (5.22) задають точку. Якщо \р\ > c, то рівняння (5.22) описують сімейство гомотетичних еліпсів (рис. 121), півосі яких співпадають з
Розглянемо переріз поверхні (5.21) площинами у = р. Ортогональні проекції перерізів на площину, які задаються рівняннями

 

(5.23)
є гіперболи. При р = 0 одержимо гіперболу з мінімальними півосями, що дорівнюють а, а Якщо оо < р < +оо, то гіперболи (5.23) покри­вають частину площини Oxz, що обмежена гіперболою, яка є перерізом поверхні (5.21) площиною у = 0 (рис. 122).

2       2 2

Вправа. Конус ^2 + fj = асимптотичний конус поверх­ні (5.21). Довести наведений факт самостійно.

Випадок однопорожнистого і двопорожнистого гіперболоїдів у про­сторі аналогічний випадку спряженних гіпербол на площині.

Якщо оо,<+оо, то поверхні сімейства

х2     у2 Z2

      |_ Z         = fi

а2    Ь2 с2

покривають весь простір, через кожну точку простору проходить одна поверхня сімейства.2 2

Конус S + f-

—    = 0 розбиває простір на три області. Однопорожни-стий гіперболоїд (5.19) лежить поза порожнинами конуса. Двопорожни-стий гіперболоїд (5.21) лежить всередині порожнин конуса (рис. 123). Якщо обертати навколо осі Oz гіперболу

 

= -1,

У = 0,то одержимо двопорожнистий гіперболоїд обертання

у2

Z

= -1.

X2 + у2 а2
РисШВправи.

а)  Записати параметричне рівняння двопорожнистого гіперболоїда обертан-
ня, загального двопорожнистого гіперболоїда, який задано рівнян-
ням
(5.21).

б)  Довести, що множина точок простору, координати яких задоволь-
няють нерівностям

а"

ж2-^-1, z>0

Ь2

опукла. Звідси випливає, що зв'язні компоненти двопорожнистого гіперболоїда опуклі поверхні (як границі опуклої множини).

 

7.х2 у2 z = ^ + y

Ь2


(5.24)— рівняння еліптичного параболоїда.Застосуємо метод перерізів для з'ясування форми поверхні. Перері­зами поверхні площинами z = h є криві, ортогональні проекції яких на площину Оху задаються рівняннями(aVh)2   ' (bVh)2 2 = 0.Якщо h < 0, то рівняння задають порожню множину, якщо h = 0, то рівняння задають точку О(0, 0, 0), якщо h > 0, то останнє рівняння опи­сує сімейство гомотетичних еліпсів, які покривають площину Оху з ви­колотою точкою О(0, 0, 0).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія