О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 49

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

2

Переріз поверхні площиною у = 0 є парабола z =      (рис. 124).Перетин поверхні площиною х = 0 є парабола


z b2 ' х = Тут Оху, Oxz площини симетрії поверхні (5.24). Зауважимо, що центра симетрії у поверхні немає.

Розглянемо переріз поверхні площиною х = р, рівняння ортогональ­ної проекції перерізу на площину Oyz суть рівняння параболи z—^j = fjj х = 0. Якщо оо < р < +00, то останні рівняння описують сімейство парабол, що одержуються одна з одної за допомогою паралельного пе­реносу вздовж осі (рис. 125).
Еліптичний параболоїд (5.24) можна одержати, якщо переносити па­ралельно параболу, яка є переріз (5.24) площиною х = 0, так, щоб вер­шина параболи ковзала вздовж параболи, що є переріз поверхні (5.24) площиною у = 0 (рис. 126).

Якщо обертати параболунавколо осі Oz одержимо еліптичний параболоїд обертання

 

_ x2 + у2

z =       2 a2

2

Параметричне рівняння параболи z = ^ суть

Г x = r, 1  z = r2

У z = a?,

звідси параметричне рівняння еліптичного параболоїда обертання

{

x = r cos ф, у = r sin ф, z = aj, —ж < r < +оо,  0 ^ ф < 2п.

Вправа. Самостшно довести, що множина точок, координати яких задовольняють нєрівності z ^ ^7 + І7 опукла.

 

Звідси буде випливати, що еліптичний параболоїд опукла поверх­ня.

Приклад. Границя рідини, що обертається навколо осі, парабо­лоїд обертання.

 

8.z


x2

a2

у!

Ь2


(5.25)рівняння гіперболічного параболоїда.Перерізом поверхні площиною у = 0 є парабола


z=

=


x2 а2 '

0,


площи-ною x = 0


парабола


z= x=


b2 'Якщо розглянути переріз поверхні площинами x = р (—о < р < +оо) то можна побачити, що гіперболічний параболоїд одержується при па­ралельному переносі параболи, що є перерізом (5.25) площиною x = 0, вздовж параболи, яка є перерізом поверхні (5.25) площиною у = 0.

Розглянемо переріз поверхні (5.25) площинами z = h(—oo < h < +оо) ортогональні проекції перерізів на площину Oxy утворюють сімействоЄ більш складні сідлоподібні поверхні. Зокрема, поверхня, задана рівнянням z = Зху2, називається мавпиним сідлом (рис. 128).

РисРжХВ

 

Сімейство сідлоподібних поверхонь задається рівняннями

z = Reu)n,

де п натуральне число, більше або дорівнює 26 ш = х + іу, Reдійсна частина комплексної функції. При п = 2 одержуємо гіперболічний параболоїд, при п = 3 — мавпине сідло.

Нагадаємо, що рівняння <р(х, у) = 0 задає у просторі циліндр з на-
Г
ш(х, у) = 0,   .                                                               . „
прямною <                     і твірними, паралельними осі Oz.

Розглянемо сімейство поверхонь, заданих рівнянням9. При h = 1 одержимо рівняння еліптичного циліндра

ос? + yL = -, a2 + b2 '

10. При h = 0 рівняння

X- + У- = 0 a2 + b2 0

задає вісь z.

11. При h = —1 рівняння

XL + XL = _i a2 + b2 1

задає порожню множину, тобто немає точок з дійсними координа­тами, які задовольняють цьому рівнянню.

12.

XL _ XL = і

a2 b2

рівняння гіперболічного циліндра.

13.

XL _ _ = 0 a2    b2 0

рівняння площин, що перетинаються.

14.

y2 = 2px

рівняння параболічного циліндра.

15.

22

x = a

рівняння паралельних площин.

16.

x2 = 0

рівняння площин, що співпадають.

17.

22

x = a

рівняння задає порожню множину.5.3   Геометричні властивості кривих 2-го поряд­ку.

Ми вже показали, що геометричне місце точок, сума i модуль різниці відстаней яких від двох фіксованих точок величина стала, є відповідно єліпс і гіпербола.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія