О А Борисенко - Аналітична геометрія - страница 5

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 

 

1.4 Вектори.

 

1.4.1   Абсолютна величина i напрям вектора.

Два промені називаються ствнапрямленими, коли їх можна сумісти­ти паралельним переносом. Два промені на одній прямій називаються доповняльними, коли вони мають єдину спільну точку.

Два промені l та l1 називаються протилежно напрямленими, коли промінь l співнапрямлений з променем І2, що є доповняльним до променя

l1.

Промені, які лежать на прямих, що перетинаються, на площині (в просторі) або на мимобіжних прямих простору, не є ні співнапрямлени-ми, ні протилежно напрямленими.

Відрізок, обмежений точками A, B, називається напрямленим, коли сказано, яка з цих точок є початком відрізка, а яка кінцем. Напрямком відрізка вважається напрямок від початку до кінця.

Вектором називається напрямлений відрізок. Початок вектора на­зивається точкою його прикладення.

ця вектора (рис. 8). Позначається вектор через AB чи AB (коли хочуть підкреслити, що A початок вектора, а B його кінець) або через ~it,

Зображається вектор відрізком зі стрілкою, що розташована біля кін-а, а, коли в даному контексті точка прикладення вектора значення не має.

Напрямом вектора називається напрям променя АВ, тобто про­меня з початком А, який має в собі точку В.

Довжиною (модулем) вектора АВ називається довжина напрямле­ного відрізка АВ.Вектори АВ і CD називаються однаково напрямленими (співнапрям-леними), коли промені АВ і CD співнапрямлені. Вектори А~Й і CD на­зиваються протилежно напрямленими, коли протилежно напрямлені промені АВ і CD.

Два вектори називаються рівними, коли вони суміщаються паралель­ним переносом.

Рівні вектори мають однакові довжини і однакові напрями. Справе­дливе і протилежне: якщо вектори мають однакові напрями і довжини, то вони дорівнюють один одному.

Вектор, у якого початок і кінец співпадають, називається нульовим і позначається через 0. Нульовий вектор не має певного напряму. Абсо­лютна величина нульового вектора вважається рівною нулю. Всі нульові вектори рівні між собою.

Вектор О А називається радіус-вектором точки А.


Із властивостей паралельного переносу випливає, що з будь-якої то­чки можна відкласти вектор, рівний даному вектору, і притому тільки один. Отже, якщо задана система координат на площині або в просторі, то кожний вектор можна відкласти від початку координат О. Таким чи­ном, виникає природна відповідність між точками площини (простору) і векторами: А > оА (рис. 9).

 

 

А


 

 

 

x0Рис.9


Рис AO1.4.2 Координати вектора.

Введемо на площині (в просторі) косокутну декартову систему коор­динат. Нехай в просторі дат дві точки A(x\,y\, z\) i B(x2,y2, z2). Тоді координатами вектора aB називається набір чисел:

a1 = x2 x\,   a2 = y2 yi,   a3 = z2 z1,   aB = (a1,a2,a3).

Перевіримо коректність визначення: рівні вектори мають рівні ко-
ординати.
_____________

Дійсно, нехай вектор AB дорівнює вектору . Вектори рівні, коли вони суміщаються паралельним переносом. Тому A(x1+с1, y1+c2, z1 +c3) і B(x2 + C1, y2 + C2, z2 + сз). Отже a1 = (x2 + C1) (x1 + C1) = x2 x1 = a1. Аналогічно a2 = a2, a3 = a3

Вірне і обернене твердження: якщо у векторів рівні відповідні коор­динати, то рівні і самі вектори.

 

Вправи.

1.  Перевірити, що координати нульового вектора дорівнюють нулю.

2.  Перевірити, що координати радіус-вектора точки A співпадають з координатами точки A.

3.  Якщо вектор a заданий своїми координатами в прямокутній декар-товій системі координат, a = (a1, a2, a3), то \ a\ = \J(a1)2 + (a2)2 + (a3)2.

Зауваження. Координати вектора залежать від вибору системи ко­ординат.

Приклад. Нехай в системі координат Oxy вектор a = (1, 0). Тоді в системі координат Ox'y' (рис. 10), вектор a = ^^, ^2^).

Виникає питання: як зв'язані між собою координати вектора в різних системах координат? Ми дамо відповідь на це питання пізніше.

 

1.4.3      Застосування векторів.

Нехай потрібно вивчити траєкторію L руху точки A (рис. 11). Коорди­нати точки A співпадають з координатами вектора OA радіус-вектор цієї точки. Позначимо r = r(t), де t час, радіус-вектор довільної точки
кривої L (r = f(t) називається вектор-функцією). Вивчаючи властивості вектор-функції f(t) можна досліджувати траєкторію руху точки А.

Приклад. Точка рухається по колу радіуса R зі сталою кутовою швидкістю ш. Знайдемо радіус-вектор цієї матеріальної точки (рис.12).

 

х = R cos out,  у = R sin out, тобто г (і) = (R cos wt, Rs'mwt).

 

1.4.4   Лінійні операції над векторами.

Нехай дано два вектори а = (а1, а2, а3) і Ь = (6і, b2, Ь3). Сумою век­торів а і Ь називається вектор с = а + Ь = (а1 + 6і, а2 + б2, а3 + б3).

Операція додавання векторів підкоряється законам:

1.  Комутативному: а + b = b + а.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86 


Похожие статьи

О А Борисенко - Сучасні інформаційні системи і технології матеріали першої міжнародної науково -практичної конференції

О А Борисенко - Аналітична геометрія